就《一个重要极限的证明策略》一文的商榷

彭乃驰 党婷

【摘要】针对2009年发表于《保山学院学报》（原《保山师专学报》）第28卷第2期的《一个重要极限的证明策略》一文，提出了不同观点，以期与原作者及同行交流.

【关键词】重要极限；循环论证；探讨

【中图分类号】O142【文献标识码】A

《保山学院学报》（原《保山师专学报》）2009年第28卷第2期发表了汤茂林先生《一个重要极限的证明策略》（以下简称“《策略》”）一文，汤先生在文中提出了重要极限limx→0sinxx=1的不同于教材的七种证明方法，使笔者深受启发.同时，笔者经过仔细思考认为《策略》一文中证法3至证法7可能存在循环论证的错误.本文首先介绍了循环论证并结合自己的教学实践举例说明，然后，详细分析了《策略》一文在证法3至证法7中可能存在循环论证的地方，以期与原作者及同行交流.

循环论证是指要证明的结论已经被预设为前提，它是普通逻辑中无效论证的一种，在科学论证中是需要避免的.在教学过程中，常听学生这样说：“我不懂数学，所以不学数学.”笔者认为正确命题是：“不学数学，所以不懂数学.” 因此，学生再用“不懂数学”推出 “不学数学”，就导致了逻辑上的循环论证.这就是现实中一个典型的循环论证错误.

在高等数学中，学者们已经提出的常见的循环论证错误有：（1）利用洛必达法则证明重要极限limx→0sinxx=1（即《策略》一文的证法5）；（2）利用洛必达法则证明重要极限limx→0（1+x）1x=e；（3）利用牛顿—莱布尼兹公式证明积分第一中值定理.

笔者在从事高等数学教学的过程中发现学生甚至部分教师都比较容易出现循环论证错误，比如：

例（2009数三，第（18）题（Ⅰ））证明拉格朗日中值定理：若函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）上可导，则存在ζ∈（a，b），使得f（b）-f（a）=f′（ζ）（b-a）.

错证由柯西中值定理得：f（b）-f（a）g（b）-g（a）=f′（ζ）g′（ζ），取g（x）=x，则有 f（b）-f（a）b-a=f′（ζ）1，即f（b）-f（a）=f′（ζ）（b-a）.证毕.

分析由于柯西中值定理是由拉格朗日中值定理证明的，因此反过来再利用柯西中值定理证明拉格朗日中值定理就犯了循环论证的错误.

同样地，本文认为《策略》一文中证法3至证法7也存在循环论证的错误，下面详细分析，以期与原作者及同行交流.限于篇幅，在不改变原证明意思的前提下，对原证明做了一定改写与省略.

“证法3：利用导数定义：limx→0sinxx=limx→0sinx-sin0x-0=（sinx）′|x=0=cos0=1”

分析该证法利用导数定义，证出重要极限limx→0sinxx=1，看似巧妙实则错误.原因是证明过程的第三个等号的成立依赖于导数公式（sinx）′=cosx，而该公式是用limx→0sinxx=1证明得来的，即《策略》的证法3出现了循环论证的错误：limx→0sinxx=1（sinx）′=cosxlimx→0sinxx=1.

“证法4：利用拉格朗日中值定理：limx→0sinxx=limx→0sinx-sin0x-0=limξ→0cosξ=10<ξ<1”

分析证明过程的第二个等号不但使用了拉格朗日中值定理而且使用了sinx的导数公式，该证法也出现了循环论证的错误.

“证法5：利用洛必达法则”

分析该证法存在的循环论证错误在文献中已作详细分析，不再重复.

“证法6：利用sinx泰勒公式：得sinx=x+o（x2），从而有limx→0sinxx=limx→0x+o（x2）x=1”

分析别忘记我们在求sinx泰勒公式时，其中一步是需要求出sinx在x=0处的各阶导数值，这步需要利用到sinx的导数公式，该证法还是出现了循环论证的错误.

“证法7：利用欧拉公式：由欧拉公式知sinx=eix-e-ix2i………（1）

可得：limx→0sinxx=limx→0eix-e-ix2xi=limx→0e2xi-12xieix=…=1”

分析（1）式由欧拉公式eix=cosx+isinx得来，欧拉公式又是怎么证明的呢？它的证明方法比较多，常见的有五种：复指数函数定义法、分离变量积分法、复数幂级数展开式法、变上限积分法和极限法.下面对这几种证明方法的逻辑思路一一分析.

在复指数函数定义法中，定义复指数函数f（z）=ez=ex（cosy+isiny）时，条件之一是要求f（z）要在复数域内解析[7]，由柯西—黎曼条件就要求有

cosy=（siny）′，（cosy）′=-siny，

故导数公式（sinx）′=cosx成立，定义出的复指数函数才有意义，这种证明方法的逻辑思路为：（sinx）′=cosx定义复指数函数欧拉公式.

分离变量积分法中首先要对z=cosx+isinx求导，所以该法显然是：（sinx）′=cosx欧拉公式.

复数幂级数展开式法要用到sinx幂级数展开式，同 “证法6”的分析，sinx幂级数展开式要依赖于sinx的导数公式，故该法是：（sinx）′=cosxsinx幂级数展开式欧拉公式.

变上限积分法中要用到积分公式∫11+x2=arctanx+C，这个公式是由导数公式（arctanx）′=11+x2得来，再想想反正切函数导数公式的来历，我们就可以列出这种证明方法的逻辑思路：（sinx）′=cosx（tanx）′=sec2x（arctanx）′=11+x2∫11+x2=arctanx+C欧拉公式.

极限法中要用到极限limn→∞narctanx[]n=x，这个极限的成立是由于arctanx[]n～xn（n→∞），该法证明思路是：

limx→0sinxx=1limx→0tanxx=1limx→0arctanxx=1arctanx～x（x→0）欧拉公式.

从上面对欧拉公式的五种证明方法的分析，可见归根到底其证明的逻辑思路要么是（sinx）′=cosx欧拉公式，要么是limx→0sinxx=1欧拉公式，再结合sinx的导数公式的证明，最后综合起来我们得到了《策略》中证法7的证明逻辑思路为：

limx→0sinxx=1（（sinx）′=cosx）欧拉公式（1）式limx→0sinxx=1.

sinx的导数公式打上小括号表明有些证明思路（如极限法）可以跳过这一步，不使用此公式.证法7的证明逻辑思路表明，证法7在证明结论limx→0sinxx=1时，其实已经潜在地把该结论预设为前提，同样出现了循环论证的逻辑错误.

在高等数学中，有些循环论证的错误比较隐蔽，学生甚至部分教师都容易出现这种错误.高等数学是一门结构严谨的学科，要正确认识和学习这门学科必须谨防循环论证.循环论证产生的根源在于对定理、公式等的来龙去脉理解不够深刻.因此，要避免循环论证就必须理清知识结构，深刻理解公式定理的来龙去脉.以上是笔者经过思考并结合自己的教学实践对《策略》一文中可能出现的循环论证问题进行的探讨，是否正确，还请同行批评指正.

【参考文献】

[1]汤茂林.一个重要极限的证明策略[J].保山师专学报，2009，28（2）：15-16.

[2]宋志润.不是从循环中脱身，而是正确地进入循环[J].哈尔滨学院学报，2009，30（7）：1-6.

[3]杨潍旭，焦振华，张智丰.例说循环论证之谬误[J].高等数学研究，2012，15（4）：115.

[4]陆斌.循环论证错误的分析[J].阴山学刊，2003（1）：224-225.

[5]毕文玲.谨防数学分析中循环论证的错误[J].南阳师范学院学报，2012，11（12）：85-86.

[6]李劲.欧拉公式eix=cosx+isinx的几种证明及其在高等数学中的应用[J].河西学院学报，2008，24（5）：1-6.

[7]余家荣.复变函数[M].第三版.北京：高等教育出版社，2000.