一道圆锥曲线题引起的研究

刘双 汤强

【摘要】高考试题奇妙无穷，具有重要的研究价值.通过对一道圆锥曲线选择题的解法、题源等的研究，发现日常教学有效性的提升需要做到“回归教材、凸显本质、夯实基础”.

【关键词】圆锥曲线；题源；解题

一、考题演示

考题1：已知F为抛物线C：y2=x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，OA·OB=2（其中O为坐标原点），求△ABO与△AFO面积之和的最小值.

1.命题立意分析

本题是2014年高考四川卷理科类选择题第10题，属于圆锥曲线类题型.考查抛物线的几何性质、平面向量的数量积、基本不等式的运用，考查考生的函数与方程思想、数形结合思想、逻辑推理等综合能力，难度系数较大.

2.解法研究

本题求解面积的方法很多，大同小异，最终结果基本都可以转化为均值不等式求最值.求解时需要注意以下几个要点：一是处理此类问题的常见模式是设出直线方程，再联立直线方程与抛物线方程，消元后建立一元二次方程，利用韦达定理和已知条件进行消元；二是为使三角形的面积表达式更简单，运用数形结合选择适当的底和高；三是利用均值不等式时，应注意“一正、二定、三相等”，不要漏掉任何重要步骤；四是未知量的假设方法不同可以简化解题过程.

3.思维推广

求解圆锥曲线中的最值问题，常见的解法有以下两种：一是代数法，将圆锥曲线中的最值问题转化为函数问题，即根据已知条件建立目标函数，然后根据目标函数的特征选用有界法、均值不等式法、判别式法、配方法、函数单调性法等，求解最大、最小值问题；二是几何法，若题目中已知条件有明显的几何特征，可以结合圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求解最值问题.

二、题源研究

“题在书外，根在书中”是高考题的特点之一.仔细研读每道高考题，均能在课本之中发现其“影子”.回归教材，追根溯源，笔者将进一步探讨该考题在教材中的原型.

[原型一]（人教版A版选修2-3，P71，例6）已知抛物线C：y2=4x，直线l过定点P（-2，1），斜率为k，k为何值时，直线l与抛物线C：只有一个公共点、有两个公共点、没有公共点？

[原型二]（人教版A版选修2-3，P81，B组习题1）已知点P是椭圆16x2+25y2=1600上的一点，且在x轴上方，F1，F2分别是椭圆左、右焦点，lPF2的斜率为-43，求△PF1F2的面积.

教材中还有一些题目也是此考题1的题源，足见高考试题背景深刻公平，题目新颖灵活，关注数学本质，注重基础.总而言之，高考题是出自教材，又高于教材，考生应重视对教材的研读和总结，回归教材，重视课本，避免题海战术.

三、相关考题研究

考生在拟定解题方案时，不得不思考一些问题：“一道和此题有关的题目是什么？”、“一个和此题类似的题目是怎样的？”“一道更为普遍化的题目是如何的？”而这些相关题目、类似题目、普遍化的题目就是解决问题的辅助元素，即相关题目.以下笔者将通过相关考题对考题1进行更进一步的研究.

考题2：已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线y=2x-4与C交于A，B两点，求cos∠AFB.

考题3：已知抛物线y2=2px（p>0），一条长为4p的弦，其两个端点在抛物线上滑动，求此弦中点到y轴的最小距离.

考题2和考题3综合运用了圆锥曲线与直线方程解题的常规模式和数形结合思想.作为考题1的相关考题，考题2和考题3在平时的训练中为考生提供了解决考题1的重要思路和方法.考题1的相关考题很多，这里就不再一一叙述.通过对相关考题的研究和讨论，笔者总结出：高考题看似很平常，实际上却蕴意丰富，具有很广阔的研究空间和研讨价值.考生在平时的学习中应着重提高自身的学习能力，学会一道题，掌握一类题，善于归纳和总结.通过对问题进行归类处理，将数学知识和技能内化，构建完备的数学认知结构，逐步改善自身数学思维品质.

四、一点思考

1.回归数学教材，培养知识归纳能力

通过对考题1的研究得出，高考复习要回归基础，从教材中寻找高考的踪迹，在教材上深挖高考的脉搏，要有解题的归纳，从方法上归纳通用性质和方法，思想上归纳解题意识.如：本文中原型一与原型二就是考题1的“根”，只要把“根”牢牢掌握，解题思路就会逐渐清晰.

2.探寻辅助题目，训练知识迁移能力

解题的第一步是要弄清楚题目的已知数据、未知量，带着目标前进，找出已知条件与未知量之间的联系.如果解题过程中遭遇瓶颈，可以考虑探寻辅助题目，如：本文中考题2与考题3就是考题1 的辅助题目.通过对辅助题目的思考，有助于快速理清考题思路.在学习中考生应该着重训练自己的知识迁移能力，融会贯通，运用辩证思想进行具体问题具体分析，提高思维的灵活性.

3.推敲考题深意，提高数学解题能力

高考题蕴意颇深，考生在做历年高考真题时，要珍视命题人的“心血”，切记不能只是简单地知道解答过程就止步，要学会仔细推敲考题背后的深意，触类旁通.在解题时，要善于变通和调整思路，拓宽视野，打破界限，寻求问题的本质.通过实践探索，提炼出多种解题思维，激发和培养自身多种优良的数学思维品质.

4.回顾问题本质，构建数学思维体系

解题最重要的一步是解题回顾，通过回顾问题本质，考生要理清解题思路，弄明白以下几个问题：（1）能检验和论证这个结果吗？（2）能以不同的思维方式解决这个问题吗？（3）还能在其他题目中运用这个结果或这种解题思路吗？考生要学会通过解题学解题，在实践中获得解题素养，建立良好的数学思维体系.