不等式恒成立问题中的几种求参方法

濮志强

不等式恒成立问题一直是高考的热点，涉及恒成立问题中的求参变量的取值范围更是一个难点.其中涉及一次函数、二次函数的图像、性质，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用.基于此，下文试对此类问题的几种方法做一下提炼总结.

1.构造函数法

所谓构造函数，就是构造适当的函数模型，然后利用函数的有关性质解题，转化为函数的最值问题.这里，我们主要介绍如何通过构造一次函数、二次函数模型，并利用它们的性质来确定参数的取值范围.

（1） 构造一次函数

例1对于满足|p|≤2的所有实数p，求使不等式x2+px+1>2p+x恒成立的x的取值范围.

解由题意得x-1p+x2-2x+1>0对于|p|≤2恒成立，设f（p）=x-1p+x2-2x+1，则f（p）在[-2，2]上恒大于0，故有：

f（-2）>0，

f（2）>0.

即x2-4x+3>0，

x2-1>0，

解得：x>3或x<1，

x>1或x<-1.

∴实数x的取值范围为x<-1或x>3.

注：本题对于一切p≤2不等式恒成立，因此应视p为主元，视x为参数，把不等式左边变成关于p的一次函数型.

（2） 构造二次函数

例2对于θ∈0，π2，cos2θ+2msinθ-2m-2<0恒成立，求实数m的范围.

解 原不等式变形为：-sin2θ+2msinθ-2m-1<0，

即sin2θ-2msinθ+2m+1>0.

令sinθ=t，t∈0，1，

∴t2-2mt+2m+1>0.

令ft=t2-2mt+2m+1，

∴ 题意为ft>0在t∈0，1上恒成立.

∴--2m2×1<0，f0=2m+1>0

或0≤--2m2×1≤1，Δ=-2m2-42m+1<0

或--2m2×1>1，g1=1-2m+2m+1>0.

解得：-121.

∴m>-12.

即m的取值范围为：-12，+∞.

一般地，利用构造函数法来确定不等式f（x，λ）≥0，（x∈D，λ为实参数）恒成立中参数取值范围的基本步骤：

（1） 构造函数，即化为f（x）≥0（或f（x）≤0）的形式；

（2） 求f（x）在x∈D时的最大（或最小）值，其中f（x）是一个含有参量的函数，求得的最值是一个含有参量的表达式；

（3） 解不等式f（x）min≥0（或f（x）max≤0）得λ的取值范围.

用此种方法适用于易构造函数、含参函数的最值能求出的题型.

2.分离变量法

所谓分离变量法也就是将参量与变量分离于表达式的两边，然后根据变量的取值范围情况决定参量的范围.这种方法可避免分类讨论的麻烦，使问题得到简单明快地解决.

例3已知当x∈R时，不等式a+cos2x<5-4sinx+5a-4恒成立，求实数a的取值范围.

解原不等式即：4sinx+cos2x<5a-4-a+5.

令 f（x）=4sinx+cos2x，要使上式恒成立，只需f（x）max<5a-4-a+5.

∵f（x）=4sinx+cos2x=-2sin2x+4sinx+1=-2sinx-12+3≤3，

∴5a-4-a+5>3，即5a-4>a+2，

上式等价于a-2≥2，

5a-4≥0，

5a-4>（a-2）2，

或a-2<0，

5a-4≥0，

解得：45≤a<8.

一般地，利用分离变量法来确定不等式恒成立中参数取值范围的基本步骤：（1）将参数与变量分离；（2）求函数在定义域上的最大（或最小）值；（3）解不等式，即得参量的取值范围.这种方法首先要看能否分离，其次看分离后能否求最值，另外要注意分离变量并不一定是将变量单独分离出来，有时候可以分离出仅含有参量的代数式.

3.判别式法

例4对于函数f（x），若存在x0∈R使f（x0）=x0成立，则称x0为f（x）的不动点，已知函数f（x）=ax2+b+1x+b-1，（a≠0）.若对任意实数b，函数f（x）恒有两个相异的不动点，求a的取值范围.

解由题意知，方程ax2+b+1x+b-1=x即ax2+bx+b-1=0恒有两个相异的实数根，即Δ=b2-4ab+4a>0对于b∈R恒成立.

于是Δ=-4a2-16a<0，解得：0

判别式法主要用于解决与一元二次不等式有关或可以转化为一元二次不等式在R上的恒成立问题.

4.数形结合法

例5设f（x）=x2-2ax+2，当x∈[-1，+∞）时，都有f（x）≥a恒成立，求a的取值范围.

解设F（x）=f（x）-a=x2-2ax+2-a.

（ⅰ）当Δ=4（a-1）（a+2）<0即-2

（ⅱ）当Δ=4（a-1）（a+2）≥0即a≤-2或a≥1时，由图可得以下充要条件：

Δ≥0，f（-1）≥0，

--2a[]2≤-1，

即（a-1）（a+2）≥0，

a+3≥0，

a≤-1.

解得：-3≤a≤-2.

综合可得a的取值范围为[-3，1].

例6当x∈1，2时，不等式x-12

解设y1=x-12，y2=logax，则要使得不等式y11，并且必须也只需当x=2时y2的函数值大于等于y1的函数值.

故a>1loga2≤1，解得：1

数形结合是解决函数问题的常见思想方法，故而我们可以将不等式问题转化为函数问题来处理，通过图像来求解.

确定恒成立不等式中参数的取值范围需灵活应用函数与不等式的基础知识，并时常要在两者间进行合理的交汇.以上几种确定参量范围的方法各有其适用的条件，解题时应根据题设条件（主要是不等式的特征）选用恰当、有效的方法.