基于自忆性原理的多变量MGM(1,m)耦合系统模型构建及应用

郭晓君，刘思峰，杨英杰

(1. 南通大学理学院，江苏 南通 226019；2. 南京航空航天大学经济与管理学院，江苏 南京 211106；

基于自忆性原理的多变量MGM(1,m)耦合系统模型构建及应用

郭晓君1,2，刘思峰2,3，杨英杰3

(1. 南通大学理学院，江苏 南通 226019；2. 南京航空航天大学经济与管理学院，江苏 南京 211106；

3. 英国De Montfort大学计算智能研究中心，莱斯特 LE1 9BH)

针对小样本条件下具有相互制约关系的多变量系统，本文提出了一种新颖的多变量MGM(1,m)自忆性耦合系统模型，用来统一描述系统各变量间关系并且提高其建模精度。该模型通过有机耦合动力系统自忆性原理与传统MGM(1,m)模型，综合了两者各自的优势。系统的自忆性方程包含多个时次初始场而不仅是单个时次初始场，从而克服了传统灰色预测模型对初值比较敏感的弱点。对基坑变形预测的实例研究结果表明，所构建模型能够充分利用系统的多个历史时次资料，可以紧密捕捉系统演化趋势，模拟预测精度显著高于传统多变量MGM(1,m)模型。研究结果表明，新模型丰富和完善了灰色预测理论，值得推广应用于其他类似的多变量系统。

多变量系统；MGM(1,m)模型；自忆性原理；耦合系统；基坑变形

1 引言

自邓聚龙教授创立灰色系统理论[1]以来，在社会经济、环境能源、工程科研等众多研究领域得到了国内外学者的广泛关注。灰色预测模型是该理论的核心体系，同时也是预测理论方法中的一个重要组成部分，其通过原始序列的累加生成，挖掘数据序列的内在规律，构建具有部分差分、部分微分特征的方程，用以揭示系统的未来发展趋势。其中，GM(1,1)模型[2-3]是灰色系统预测理论的基础和核心，它通过单变量的一阶微分方程模型揭示其内在发展规律，用于单一时间序列的建模和预测。众多学者在GM(1,1)模型的特性研究、背景值改进、时间响应式优化、扩展研究等方面开展了系统深入的工作[4-8]，极大地推动了GM(1,1)模型的发展。

随着灰色预测模型应用范围的不断扩大，尤其在社会经济、工程科学等实际问题中，各变量之间往往是相互影响、相互制约的，而多变量MGM(1,m)模型[9]从系统的角度对各变量进行统一描述，能够较好地反映系统中各变量之间相互影响、相互制约的关系。自多变量MGM(1,m)模型提出以来，许多学者对该模型进行了深入研究，李小霞等[10]、崔立志等[11]和熊萍萍等[12]对模型进行了背景值等方面的改进并应用于实际的社会、经济系统中进行预测，熊萍萍等[13]将模型扩展到非等间距原始数据序列的模拟预测问题，熊萍萍等[14]则对多变量MGM(1,m)模型进行了特性研究。

在反演建模的基础上，Cao Hongxing[15]首次提出了动力系统自忆性原理，其作为解决非线性系统的一种统计-动力方法，是决定论和不确定论两种方法融合在数学上的实现。该原理通过实际观测资料反演较为理想的非线性动力模型，既可以克服微分方程初值解法只用一个初值进行预测带来的“对初值极其敏感”的弱点，又克服了以往用历史资料进行统计而与机理性方程无关的局限性。该方法是对传统初值问题数值解和统计方法的一个突破，已被逐渐应用到气象水文、工程科学等多个领域的时间序列预测中[16-17]。近年来，部分学者考虑在一些简单的灰色预测模型中引入自忆性原理，已进行了一些有意义的初步尝试，取得了较满意的建模结果[18-20]。

本文在已有工作的基础上展开进一步研究，针对社会经济、工程科学中经常出现的相互影响的多变量原始数据序列，以传统多变量MGM(1,m)模型为基础，结合动力系统自忆性原理，构建基于自忆性原理的多变量MGM(1,m)耦合系统模型，并通过应用实例对基坑变形值进行模拟和预测，分析MGM(1,m)自忆性耦合系统模型相比传统MGM(1,m)模型的优越性，以期丰富和完善灰色预测理论、拓展其应用范围。

2 传统多变量MGM(1,m)模型

2.1 多变量MGM(1,m)模型的基本方程

…,n时刻的观测值序列，即：

(1)

j=1,2,…,m

(2)

j=1,2,…,m，i=1,2,…,n

j=1,2,…,m，k=2,3,…,n

(3)

j=1,2,…,m，i=1,2,…,n

为多变量MGM(1,m)模型的基本形式，称：

(4)

为MGM(1,m)模型的白化方程组，记:

则式(3)可简记为：

X(0)(k)+AZ(1)(k)=B

(5)

式(4)可简记为

(6)

F(X,t)=-AX(1)(t)+B

(7)

2.2 多变量MGM(1,m)模型的基本特性

1)MGM(1,m)模型X(0)(k)+AZ(1)(k)=B的最小二乘估计参数序列满足:

(8)

其中：

X(1)(t)=e-At(X(1)(1)-A-1B)+A-1B

(9)

3)MGM(1,m)模型X(0)(k)+AZ(1)(k)=B的时间响应式可由式(9)离散化得到，即:

(10)

k=2,3,…,n

4)还原式为:

(11)

k=2,3,…,n

3 多变量MGM(1,m)自忆性耦合系统模型构建机理研究

动力系统自忆性原理，基于客观世界中自然和社会现象演变的不可逆特性，强调系统内部状态的前后承续关系，重点研究系统的自身演化规律。该原理通过定义Hilbert空间中的内积，引入忆及历史多时次资料的记忆函数，导出了具差分-积分形式的自忆性方程。由于系统自忆性方程以包含多时点初始场来代替单时点初始场，因此克服了原始系统动力微分方程对初值比较敏感的弱点。这种自记忆模式的优势在于，既可以把动力学计算与用历史数据估计参数结合起来，又可以把统计学中从过去观测资料中提取预报信息的长处吸收进来，因此对历史多个时次的观测统计数据具有良好的记忆功能。

3.1 自忆性预测方程的离散形式

(12)

式中x为变量，λ为参数，t为时间，F(x,λ,t)为动力核。令记忆函数为β(t)，同时Hilbert空间的内积运算定义为:

(13)

设某时间集合T={t-p,t-p+1,…,t-1,t0,t}，其中t-p,t-p+1,…,t-1,t0表示若干历史观测时点，t0表示预测初始时点，t表示未来预测时点，p表示回溯阶，也即t0前的时点个数，同时假设时间样本间隔为Δt。通过内积运算(13)对系统动力方程(12)进行变换，假设变量x与记忆函数β(t)连续、可微且可积，则可得:

即:

(14)

对式(14)的等式左边所有积分项分别运用分部积分法和微积分中值定理，同时合并消除同类项，从而推导得一个差分-积分形式的自忆性预测方程：

(15)

=S1+S2

(16)

称其为系统回溯p阶的自忆性方程。方程右端第1项S1称为自忆项，表示p+1个时次的历史量测往值对预测变量xt的贡献值；第2项S2称为他效项，表示动力核源函数F(x,λ,t)在回溯时段[t-p,t0]内对xt的贡献值。

(17)

取等距时次间隔，令Δti=ti+1-ti=1，且将βt和βi合写，则得到离散形式的自忆性预测方程：

(18)

式中αi=(βi+1-βi)/βt,θi=βi/βt，αi和θi称为记忆系数，动力核源函数F(x,λ,t)由多变量MGM(1,m)模型的系统动力方程式(8)确定。

若取等间隔采样Δt，即ti=t0+iΔt，其中i=-p,-p+1,…,-1,0,1，则自忆性方程的离散形式可类似得到，此处不再赘述。

3.2 自忆性预测方程的求解

设有L个时次的历史数据资料，且满足L>p，可用最小二乘法求解记忆系数αi和θi。

定理2[15]记:

则离散形式的自忆性预测方程(18)可表示成矩阵形式:

Xt=YA+ΓΘ

(19)

Xt=ZW

从而得记忆系数矩阵W的最小二乘估计:

W=(ZTZ)-1ZTXt

(20)

(21)

将k时点的相对误差记为RPE(k)，其公式为:

(22)

则所有时点的平均相对误差记为ARPE，其公式为:

(23)

可由k时点相对误差RPE(k)及系统平均相对误差ARPE来进行模拟预测的误差分析和精度检验。

4 应用实例

工程建设中常见的基坑变形现象是引起深基坑工程事故的主要因素，根据实测信息预测下一阶段施工中可能出现的新动态，可以为优化设计和合理施工提供可靠信息。而基坑变形是一个复杂的系统变化过程，不能只对单点进行局部分析研究，应该充分利用多个监测点之间的相关信息进行系统分析。同时由于工程建设中有效监测信息容易缺失等不确定因素，容易导致变形监测数据具有典型的小样本、贫信息的灰色系统特征。

表1 3组基坑变形的原始数据序列值(mm)

新构建的多变量MGM(1,m) 自忆性耦合系统模型，综合了自忆性原理和MGM(1,m)模型各自的优势。一方面，新模型从系统的角度对各变量进行统一描述，能够较好地反映系统中各变量之间相互影响、相互制约的关系；另一方面，新模型以多时点初始场来代替单时点初始场，可以克服传统MGM(1,m)模型对初值较敏感的弱点，充分挖掘历史资料提供的信息。因此，本文建立多变量MGM(1,3)自忆性耦合系统模型对基坑变形进行建模预测，并与传统多变量MGM(1,3)模型进行对比，比较两类模型的模拟预测精度，从而验证新模型的可行性与有效性，以及针对相互影响、相互制约的多变量系统建模预测问题的优越性。

在建立多变量MGM(1,3)自忆性耦合系统模型时，取表1中3组基坑变形原始数据序列的前7个周期的监测数据作为建模样本，后2个周期的监测数据作为预测样本，并进行模拟预测精度检验。根据相应监测数据建立的传统多变量MGM(1,3)模型的白化微分方程组为

(24)

通过作离散化处理，并用最小二乘法求记忆系数，得到回溯阶p=1的自忆性方程组：

(25)

其中记忆系数矩阵为:

用上述建立的多变量MGM(1,3)自忆性耦合系统模型，对表1中的3组基坑变形监测数据进行模拟和预测计算及误差检验，具体模拟和预测结果及误差分析见表2，其中由于回溯阶的原因，多变量MGM(1,3)自忆性耦合系统模型中的前2个时点没有模拟值。同时根据熊萍萍等[12]，传统多变量MGM(1,3)模型对3组基坑变形监测数据前7个时点模拟的平均相对误差结果，以及后2个时点的预测值及相对误差结果[12]见表3。

表2 多变量MGM(1,3)自忆性耦合系统模型对的模拟和预测值及相对误差

表3 传统多变量MGM(1,3)模型对的预测值及相对误差

由表2～3关于3组基坑变形值的模拟和预测计算结果及误差对比可知，传统多变量MGM(1,3)模型进行模拟计算的平均相对误差(ARPE)分别为8.68%、8.65%和8.62%；单步滚动预测相对误差分别为1.77%、2.07%和2.00%，两步滚动预测相对误差分别为2.83%、0.76%和0.94%。而多变量MGM(1,3) 自忆性耦合系统模型中进行模拟计算的平均相对误差(ARPE)相应地大幅降低至1.57%、1.74%和2.03%；同时单步滚动预测相对误差相应地显著降低为1.34%、0.81%和0.75%，两步滚动预测相对误差也相应地降低为0.76%、1.12%和0.82%。

综合比较分析可知，本文提出的多变量MGM(1,m)自忆性耦合系统模型的模拟与预测精度得到了显著提升，相比传统多变量MGM(1,m)模型更好地捕捉了原始数据序列的整体发展和个体变化趋势。同时，新模型可以充分考虑各变量间的相关性，能够反映基坑变形系统的整体发展规律，自忆性技术则有助于进一步降低传统MGM(1,m)模型的建模误差。其原因是新模型通过引进过去时次资料的记忆函数，导出包含多个时次初始场而不仅是一个初始场的自忆性方程，再作进一步模拟预测，克服了传统MGM(1,m)模型只用一个初值进行预测带来的对初值比较敏感的局限性。因此，我们应充分利用系统多个时刻的历史量测往值，同时根据原始数据序列的自身特性构建相应的预测模型。

5 结语

本文针对社会经济、工程科学中经常出现的相互影响、相互制约的多变量原始数据序列，研究了在有限数据情形下的多变量系统预测问题。多变量MGM(1,m)模型可以克服在小样本量情形下单变量模型中局部分析的不足，并综合考虑多变量之间的相关信息，实现对多变量系统的整体预测。为了进一步提高预测精度，将动力系统自忆性原理引入多变量MGM(1,m)模型，构建了多变量MGM(1,m)自忆性耦合系统模型。对基坑变形的实例研究表明，所提出的耦合系统模型能够充分利用系统的多个历史时次资料，可以紧密捕捉系统演化趋势，显示出融合自忆性原理提高模拟预测精度的能力和优越性。

因此，多变量MGM(1,m)自忆性耦合系统模型，适用于小样本条件下相互影响、相互制约的多变量系统建模预测问题，值得推广应用于社会经济、工程科学等领域其他类似的多变量系统，具有广阔的研究背景和应用空间。如何将其他的优化技术与自忆性原理相结合，来进一步提高多变量系统中的预测精度和稳定性，是下一步讨论的方向。同时，是否可以借助某种智能优化算法，来找到一种理想的最优回溯阶算法，需要作进一步探索。此外，随着时间推移，不断有新的数据逐渐补充进多变量系统，可利用灰色新信息模型或者新陈代谢模型进行修正，以减少预测误差、提高预测精度。

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Construction and Application of Multi-variable MGM(1,m) Coupled System Model Based on Self-memory Principle

GUO Xiao-jun1,2，LIU Si-feng2,3，YANG Ying-jie3

(1. School of Science, Nantong University, Nantong 226019, China;2. College of Economics and Management, Nanjing University of Aeronautics and Astronautics, Nanjing 211106, China;3.Centre for Computational Intelligence, De Montfort University, Leicester LE1 9BH, UK)

A novel multi-variable MGM(1,m) self-memory coupled system model is presented for use in multi-variable systems with interactional relationship under the condition of small sample size. The proposed model can uniformly describe the relationships among system variables and improve the modeling accuracy. The model combines the advantages of the self-memory principle of dynamic system and traditional MGM(1,m) model through coupling of the above two prediction methods. The weakness of the traditional grey prediction model, i.e., being sensitive to initial value, can be overcome by using multi-time-point initial field instead of only single-time-point initial field in the system’s self-memorization equation. As shown in the case study of foundation pit deformation prediction, the novel model can take full advantage of the system’s multi-time historical data and accurately predict the system′s evolutionary trend. And it prominently possesses higher accuracy of simulation and prediction than the traditional multi-variable MGM(1,m) model. The results show that the proposed model enriches and perfects grey prediction theory, and can be applied to other similar multi-variable engineering systems.

multi-variable system; MGM(1,m) model; self-memory principle; coupled system; foundation pit deformation

2013-08-09；

2014-07-23

欧盟第7研究框架玛丽 居里国际人才引进计划Fellow项目(FP7-PIIF-GA-2013-629051)；国家自然科学基金资助项目(71271226，71363046,71401051,71503103)；国家社会科学基金重点资助项目(12AZD102)；江苏省社会科学基金资助项目(14GLC008)；南通市科技计划资助项目(HS2013026)

郭晓君(1978-)，男(汉族)，江苏南通人，南通大学理学院副教授，博士研究生，研究方向：灰色系统理论、系统工程.

1003-207(2015)11-0112-07

10.16381/j.cnki.issn1003-207x.2015.11.014

N941.5

A