脉冲响应不变法在IIR滤波器设计中的应用

张登奇, 彭 鑫

(湖南理工学院 信息与通信工程学院, 湖南 岳阳 414006)

脉冲响应不变法在IIR滤波器设计中的应用

张登奇, 彭 鑫

(湖南理工学院 信息与通信工程学院, 湖南 岳阳 414006)

数字滤波器的设计是数字信号处理课程的重要教学内容, 脉冲响应不变法是间接设计IIR数字滤波器的基本方法. 本文以巴特沃斯数字低通滤波器的设计为例, 根据脉冲响应不变法的基本原理, 归纳了该方法的设计步骤, 并对设计过程进行了深入分析, 最后实例给出了MATLAB实现的程序.

数字信号处理; 数字滤波器; 脉冲响应不变法; MATLAB

引言

脉冲响应不变法是间接设计IIR数字滤波器的基本方法, 该方法以成熟的模拟滤波器设计技术为基础,利用脉冲响应不变原理, 对模拟滤波器的冲激响应进行等间隔采样, 将得到的抽样序列作为数字滤波器的单位脉冲响应, 从而完成数字滤波器的设计. 但在一般的教材中, 模拟滤波器的设计和从模拟到数字的转换都是分开讲解, 没有进行完整的过程分析, 导致学习理解困难. 本文以巴特沃斯数字低通滤波器的设计为例, 根据脉冲响应不变法设计的基本原理, 归纳该方法的设计步骤, 并对设计过程进行深入分析, 最后用实例给出MATLAB实现的程序.

1 脉冲响应不变法

1.1 设计原理

利用模拟滤波器成熟的设计理论和技术间接设计IIR数字滤波器, 其基本思想是先设计一个合适的模拟滤波器Ha(s), 再按照某种映射关系转换成数字滤波器H(z). 这种从s平面到z平面的映射关系必须满足两个基本要求: 一是因果稳定的模拟滤波器经转换得到的数字滤波器也必须因果稳定, 即映射关系应使s平面的左半平面映射到z平面的单位圆内; 二是数字滤波器的频率响应要能模仿模拟滤波器的频率响应, 即s平面的虚轴必须映射到z平面的单位圆上. 脉冲响应不变法以模拟滤波器冲激响应的理想采样信号(t)为桥梁, 导出的映射关系z=esT既满足上述两个基本要求, 又能使理想采样信号的拉氏变换与采样序列的z变换对应[1], 即

理想采样信号的拉氏变换与原模拟滤波器的系统函数存在下列关系[2]:

假设模拟滤波器只有单阶极点, 且分母多项式的阶次高于分子多项式的阶次(一般都满足), 将Ha(s)展开成部分分式形式

利用数字滤波器的单位脉冲响应来自模拟滤波器冲激响应的等间隔理想采样, 即可得到数字滤波器的系统函数[1]

(4) 式中T是为了使数字滤波器的增益不随采样周期变化而将单位脉冲响应修正为h(n) =T ha(nT)的结果[3].

1.2 设计步骤

根据脉冲响应不变法的设计原理, 设计IIR数字滤波器大致包括四个环节. 首先根据实际任务要求,选择滤波器类型(典型滤波器类型有巴特沃斯滤波器、切比雪夫滤波器和椭圆滤波器), 确定数字滤波器的技术指标; 然后设置采样周期T, 并按将数字指标转化成模拟指标; 再按模拟指标设计一个合适的模拟滤波器; 最后利用脉冲响应不变法的转换关系将模拟滤波器转换成数字滤波器. 下面以巴特沃斯低通滤波器的设计为例, 结合图1所示设计过程, 介绍脉冲响应不变法的设计步骤.

图1 巴特沃斯数字低通滤波器的设计过程示意图

实例设计一个巴特沃斯数字低通滤波器, 采样频率Fs=20000Hz , 要求通带临界频率fp=3000Hz,通带内的最大衰减Ap=2dB, 阻带临界频率fs=6000Hz , 阻带内的最小衰减As=7db .

(1)确定数字滤波器的技术指标. 数字指标为ωp=0.3π rad ,ap=2dB (0.7943倍),ωs=0.6π rad,as=7dB (0.4467倍). 衰减指标以分贝为单位适于公式, 用倍率为单位图示明显. 数字指标如图1(a)点状图所示.

(2) 将数字指标转化成模拟指标. 设采样周期T=1s(后面的分析可知T不参与设计, 设为1s既可使计算简单也便于频谱对比), 转化的模拟指标为Ωp=0.3π rad/s,Ap=2dB (0.7943倍), Ωs=0.6πrad/s ,As=7dB(0.4467倍). 模拟指标如图1(b)点状图所示.

(3) 根据模拟指标设计模拟滤波器[3]. 模拟滤波器的阶次和3dB截止频率可按下列公式计算:

模拟滤波器的幅频特性如图1(b)曲线所示. 由于Ωc=Ωcp, 设计的模拟滤波器可使通带边界指标Ωp,Ap精确满足, 同时阻带边界指标Ωs,As留有余量.

(4) 将模拟滤波器转换成数字滤波器. 先将(7)式的Ha(s)化成部分分式展开形式

设计的数字滤波器幅频特性如图1(d)曲线所示, 与图1(b)对比可知两者偏离严重, 设计结果也不满足图1(a)所示的指标要求, 这都是因为频谱混叠造成的.

2 设计过程的深入分析

2.1 频谱混叠现象

如果将单位脉冲响应的取值修正为h(n) =T ha(t)|t=nT, 根据(1)式和(2)式可知, 用脉冲响应不变法设计的数字滤波器频响函数

(11)式可理解为数字滤波器的频响是模拟滤波器的频响函数以为周期进行周期延拓并相加后再经坐标变换得到. 图1(b)绘出了模拟滤波器的幅频曲线, 图1(e)是模拟滤波器幅频曲线的周期延拓, 示意了幅频曲线的形成过程. 注意的幅频曲线不是模拟滤波器幅频曲线周期延拓后的直接相加, 而是模拟滤波器频响函数周期延拓后无穷项相加取模的结果. 图1(d)绘出的数字滤波器的幅频曲线,是的幅频曲线经坐标变换得到的结果, 它不是图1(e)波形的简单叠加. 与图1(e)对比可知, 波形中间幅度明显变小, 两边幅度明显变大, 仔细观察还可发现设计的数字滤波器幅频曲线不再经过通带边界指标, 在通带内也不再单调变化, 所有这些都是频谱混叠的结果. 但如果阻带衰减越大、阻带边界频率离采样频率越远, 频谱混叠就越小.

2.2 采样周期T对设计的影响

在间接设计IIR数字滤波器的过程中, 模拟滤波器的设计和从模拟到数字的转换是不可分割的两个环节. 采样周期T对模拟滤波器的设计影响和从模拟到数字的转换影响可以相互抵消, 这可从三方面进行理解. 从时域上看, 采样周期不同会使设计的模拟滤波器冲激响应在幅度和时间上都会发生伸缩变化, 但经过h(n) =T ha(t)|t=nT进行等间隔理想采样后得到的序列相同. 如图1(c)的实虚线分别绘出了T=1s和T=1.3s时的冲激响应波形, 图1(f)绘出的实点线采样序列和虚点线采样序列实际上是同一序列. 从频域上看, 采样周期不同会使设计的模拟滤波器频谱在频率轴上按发生伸缩, 但在滤波器转换过程中频谱又会按ω=ΩT变换回来. 从复频域上看, 采样周期不同只会改变模拟滤波器极点的模, 但经转换后得到的数字滤波器极点并没有改变. 所以, 采样周期T不影响设计, 理论上可任意设置. 但考虑到计算简单和计算机的有限字长效应, 一般不宜过大或过小.

2.3 3dB截止频率对设计的影响

在模拟滤波器的设计过程中, 3dB截止频率有两个计算公式, Ωcp和Ωcs分别是通带指标与阻带指标精确满足的3dB截止频率. 当Ωc=Ωcp时设计的模拟滤波器幅频曲线过Ωp、Ap点, 如图2中实线所示; 当Ωc=Ωcs时曲线过Ωs、As点, 如图2中虚线所示. 当Ωc∈(Ωcp,Ωcs)时曲线在通带边界和阻带边界都富有余量. 考滤到频谱混叠和计算方便,可取Ωc=Ωcp.

图2 3dB截止频率对设计的影响

3 MATLAB实现程序

根据实例确定的滤波器设计指标, 用脉冲响应不变法设计巴特沃斯数字低通滤波器的MATLAB程序如下:

Application of the Impulse Invariance in IIR Digital Filter Design

ZHANG Deng-qi, PENG Xin
(College of Information and Communication Engineering, Hunan Institute of Science and Technology, Yueyang 414006, China)

Digital filter design is the most important component in teaching of digital signal processing. Impulse invariance is a basic method in the indirect design of IIR filter. This paper deduced the procedure of IIR filter design based on the fundamentals of impulse invariance. After thoroughly making analysis of the design steps, the design approach of Butterworth low pass filter was introduced as an example. Finally, the paper attached MATLAB code of the Butterworth low pass filter.

digital signal processing; digital filter; impulse invariance; MATLAB

TN713.7

: A

: 1672-5298(2015)04-0023-04

2015-09-13

湖南省教育厅科学研究项目(12A057); 湖南理工学院教学改革研究项目(2014B20)

张登奇(1968− ), 男, 湖南临湘人, 硕士, 湖南理工学院信息与通信工程学院副教授. 主要研究方向: 信号与信息处理