无穷大量与无穷小量在教学中应注意的几个问题

张爱丽

【摘 要】本文指出了无穷大量和无穷小量在教学中应注意的一些问题，并给出了无穷大量的一些性质和等价无穷大量的定义，以及用它们来讨论级数敛散性的优越性。

【关键词】无穷大量    无穷小量    敛散性

一、前言

我们在研究变量的变化过程中，经常会遇到两类变量：一种是在某种变化过程中无限趋近于零，这种变量我们称为无穷小量;另外一种是在某种变化过程中无限趋近于正负无穷，称为无穷大量。无穷大量和无穷小量是高等数学中的重要概念。在教学中研究无穷大量与无穷小量的结论和性质对学习高等数学的其他内容有很大帮助。无穷大与无穷小在一元微积分，特别是在极限的理论中有着非常重要的地位。微分在变化为零的过程中是无穷小，导数是无穷小量之比的极限，定积分实质是无穷小量的积累。函数的连续性、极限的四则运算法则、无穷小量的阶等均是无穷小量给出的等等，许多概念都建立在无穷大量和无穷小量的基础上。

二、无穷大量和无穷小量的说明和性质的补充

1.无穷大和无穷小是变量，但不是单调地越变越大，或者越变越小

无穷大与无穷小是变量，它们表示的是量的变化趋势。因此不能简单地把它们看成很大的数与很小的数。除了0以外其他再小的数也不是无穷小量。一个无穷大量在变化过程中开始时也可能取很小的数值。无穷大与无穷小同一般变量的极限一样，本质上主要表现在变化的终极状态，而不在变化过程中的任何有限的阶段。需要说明的是，无穷大不是越变越大，无穷小同样也不是越变越小。在教学中应向学生说明这两种说法只用于表现单调变化的情况，而无穷大与无穷小的变化过程有可能不是单调的。

2.高数课本中对无穷小量的性质讲得比较充分，无穷大量相对较少，下面就无穷大量的运用做一些补充

2.1 无穷大量阶的比较

定义：设u，v是在同一个自变量的变化过程中的无穷大量，则u比v的极限也是这个变化过程中的极限。

（1）如果u比v极限为0，u是比v低阶的无穷大;

（2）如果u比v极限为无穷，u是比v高阶的无穷大;

（3）如果u比v极限为常数（不为0），u与v是同阶无穷大;

（4）如果u比v极限为1，u与v是等价无穷大;

（5）如果u比v的k次方的极限为常数（不为0），k大于0，u是关于v的k阶无穷大。

2.2无穷大量的性质

性质1：无穷大量与有界变量的和仍为无穷大量。

推论1：无穷大量与常量的和仍为无穷大量。

推论2：无穷大量与有限个无穷小量的和仍为无穷大量。

性质2：无穷大量与不为0的常数相乘仍为无穷大量。

注意1：无穷大量与有界变量的积不一定是无穷大量。

性质3：有限个无穷大量的积仍是无穷大量。

注意2：有限个无穷大量的和不一定是无穷大量。

性质4：无穷大量一定是无界量，但无界量不一定是无穷大量。

从图像上来看，无界量与无穷大量都不能被平行于X轴的两条直线夹住，但无穷大量有一个明显的变化趋势，即函数值整体上向无穷大靠近，而无界量则没有这种变化趋势。

性质5：一个无穷大量与它的低阶无穷大量的和或差与该无穷大量是等价的。已知u，v都是在同一自变量的变化过程中的无穷大量，且u比v的极限为0，则u+v（u-v）等价v。性质6：一个无穷大量和一个有界变量的和或差与该无穷大量是等价的。已知u，v是在某自变量的变化过程中的无穷大量，u是个有界变量，则u+v（u-v）等价v。

推论3：一个无穷大量和常数的和或差与该无穷大量是等价的。即，已知u，v是在某种自变量的变化过程中的无穷大量，a为常数，u+a（u-v）等价v。

求两个无穷大量之比的极限时，分子及分母都可用等价无穷大量来代替。因此，如果用来代替的无穷大量选得适当的话，可以使计算简化。

3.讨论级数的敛散性

基本思路：利用无穷大量、无穷小量的等价替换，使一般项得到简化，快速找到与该技术敛散性可能相同的级数，然后再用合适的方法（大多采用比较审敛法的极限形式）进行验证即可。

通常简化过程中一般项的常数倍可舍去，一般项中分子或分母的无穷大因子可用等价无穷大替换，再结合等价无穷小的运用，可将一般项简化的幅度加大，化成熟知的级数，即得正解。这种处理手段的妙处在于能快速得到正确的答案或解题思路，在考研等各种考试中，特别在做填空、选择题时，将发挥重要的作用。同时应注意，在简化过程中作为解题策略，有时只能当成一种试探，要尽量保证级数收敛性的稳定性，但是，也不必过分追求严谨性，在真正解答时随时可以加以修正。在讨论极限、级数问题时，与其他方法相结合，巧妙地运用无穷大量的性质及其等价替换能起到事半功倍的效果，有的问题可以迅速简化甚至直接得到答案。

三、结束语

总之，无穷大量和无穷小量在整个高等数学中有着举足轻重的地位，我们在授课时要把一些细节说清楚，让学生对它们的内涵有深切的认识，真正学会用它们来解决问题，认知高等数学中的概念。

【参考文献】

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