自适应平方根无迹滤波的雷达组网状态估计算法*

赵温波，丁海龙

（解放军陆军军官学院，合肥 230031）

自适应平方根无迹滤波的雷达组网状态估计算法*

赵温波，丁海龙

（解放军陆军军官学院，合肥 230031）

从最小方差的角度分析了雷达组网无迹滤波（Unscented Filter，UF）状态估计的统计学本质，并且针对UF的Cholesky分解遇到非半正定矩阵容易发散、不准确滤波初值造成滤波发散以及异常扰动影响滤波效果等问题，提出将自适应平方根无迹滤波（Adaptive Square Root Unscented Filter，ASQUF）用于雷达组网状态估计，结合合理的滤波初始化策略，提高了UF的工程可用性。仿真验证表明，提出的ASRUF算法用于雷达组网空域目标状态估计时，初始化平稳无波动，工程可用性好，状态估计精度高，明显优于扩展卡尔曼滤波（Extended Kalman Filter，EKF）算法。

雷达组网，扩展卡尔曼滤波，无迹滤波，自适应平方根无迹滤波，初始化

0 引言

雷达组网系统［1-3］为多源数据融合系统。雷达组网数据融合［3-4］，依据数据源类型，包括点迹融合［5］和航迹融合［6］两种融合方式。其中，点迹融合方式目标信息丰富，时延较小，但计算需求较大。本文主要针对雷达组网的点迹融合方式开展研究。卡尔曼滤波（Kalman Filter，KF）为线性高斯系统的最优估计［7-8］。而雷达组网系统中，每部组网雷达送达融合中心的测量数据，其格式为空域目标在组网雷达极坐标条件下的斜距、方位角和高低角（海拔高）测量参量。而目标跟踪过程通常在融合中心直角坐标系中完成。显然，组网雷达极坐标测量数据与目标跟踪状态呈现非线性关系，不满足KF线性化使用要求。一般来说，针对非线性系统状态估计问题，工程上通常使用扩展卡尔曼滤波（Extended Kalmanfilter，EKF）［9-10］算法。EKF算法使用局部线性化方法，舍弃了非线性模型的二阶以上高阶项，必然导致目标滤波估计精度下降。无迹（无味）滤波（Unscented Filter，UF）［11-14］算法基于Unscented变换（Unscented Transform，UT）原理，结合最小方差估计，达成逼近目标状态的后验概率分布目的。对于高斯噪声系统，UT变换可以逼近四阶矩精度；对于非高斯噪声系统，UT变换也可以达到三阶矩精度［11］。从状态估计方式来看，UF算法为最小方差估计，其基本原理为基于估计误差方差最小化为优化目标条件下的最优状态估计。

本文从最小方差角度分析了UF的统计学本质，UF在工程使用时容易受异常扰动、不准确初值和Cholesky对非半正定矩阵难以分解的影响而导致发散，本文拟使用自适应平方根无迹滤波（Adaptive Square Root Unscented Filter，ASQUF）算法，解决雷达组网系统对空域目标的状态估计问题，ASQUF弥补了UF以上的几个不足，能够满足工程应用需求，推进了雷达组网工程化水平。

2 雷达组网状态线性最小方差估计

假定某时刻空域目标T的真实状态为X，组网雷达的相应探测点迹为Z，探测点迹Z对目标T的状态估计（Z）为最优化过程为［7］：

当空域目标T状态噪声、组网雷达探测噪声均服从高斯白噪声分布时，最小方差估计MV（Z）为以测量值为函数的线性最小方差估计［7］。状态估计及其协方差表示如式（2）和式（3）所示。

其中，mX、mZ、PX、PXZ分别为状态均值、测量均值、状态自协方差矩阵、状态-测量互协方差矩阵。若能获取这些参量，即可解算空域目标T的线性最小方差估计。

3 基于无迹变换的雷达组网状态/测量的统计特性描述

一般来说，很难直接获取式（2）、式（3）所需空域目标状态均值mX、测量均值mZ、状态自协方差矩阵PX、状态-测量互协方差矩阵PXZ解析表达。而通过无迹变换方法求解，为行之有效的解决途径。

无迹变换为基于随机分布逼近原理的非线性变换方法。雷达组网对空域目标状态估计，利用无迹变换方法，获取线性最小方差估计所需的4个统计参量，进而完成状态滤波估计。

根据文献［11］可知，k-1时刻目标状态的σ点集及其相应权重表达式如式（4）和式（5）所示。

其中κ用于调节σ点集逼近状态概率分布的高阶矩精度，以减少逼近误差，可取任意值，但要确保n+κ≠0，当状态分布是高斯分布时，取n+κ=3最有效［11］。

当状态维数增加时，按式（4）、式（5）方法采样的σ点集会呈现离中心点越来越远现象［11］，尽管能确保与真实分布逼近（匹配）的均值和协方差，但可能会导致采样σ点逼近概率分布时可能丢失局部区域信息，产生非半正定协方差矩阵，使矩阵Cholesky分解计算困难。为了解决这个问题，文献［15］提出比例修正采样，对式（4）的采样点集进行比例修正（修正过程如式（6）所示）。

比例修正系数α为小于1的正数，α取值要确保被逼近分布的方差矩阵为半正定矩阵，σ点集经过比例修正后用于计算均值的权值如式（7）所示。

根据文献［15］可知，为了使所逼近分布的协方差精确到前四阶项，特别引入参量β。

已经证明，如果目标状态噪声服从高斯白噪声分布，β的最优取值为2［15］。将式（5）代入式（7）、式（8），令，得到比例修正采样k-1时刻的状态σ点集及其相应权值。

其中，W*m是均值加权所用的权值，W*c是协方差加权所用的权值，为矩阵（n+λ）Pk-1平方根矩阵的第j行或第j列，通常使用矩阵运算的Cholesky分解来获取。

4 雷达组网无迹滤波状态估计建模

4.1 无迹滤波状态/观测建模

由于本文主要研究雷达组网系统对空域弱机动目标的跟踪问题，拟采用无迹变换技术结合线性最小方差估计（称为无迹滤波），针对组网雷达噪声化测量值，实现对空域目标状态的最优估计。

假定状态噪声和测量噪声都为加性高斯白噪声，空域目标做匀速直线运动，则无迹滤波状态方程和测量方程表达式如式（11）和式（12）所示。

其中，Φk|k-1为状态转移矩阵，Γk-1为策动噪声矩阵，Wk-1为系统策动白噪声，令策动白噪声方差为Qk-1，Xk为k时刻空域目标的运动状态（由融合中心惯性坐标参量表示），本文只研究空域目标在融合中心惯性坐标系的位置和速度等状态参量，则目标状态为。Zk为组网雷达测量点迹，由组网雷达对空域目标的斜距、方位角和俯仰角（部分三坐标雷达输出海拔高测量参量，可以变换为雷达对目标的俯仰角测量值，因此，本文对此不作针对性分析讨论）测量参量构成，即，Vk为组网雷达测量噪声，其统计特性为Rk。h（g）为融合中心惯性坐标系至组网雷达极坐标系的坐标变换矩阵［16］。式（11）和式（12）中的参量见文献［17］。

4.2 无迹滤波状态/观测预测建模

4.2.1 状态预测建模

针对k-1时刻空域目标状态σ点集，利用滤波器状态转移方程，生成目标状态预测σ点集，基于统计学理论方法，生成状态预测统计特性。

式（13）为预测σ点集生成表达式，式（14）为状态预测均值k|k-1表达式，式（15）为预测协方差阵Pk|k-1生成表达式。

4.2.2 观测预测建模

利用式（13）生成的状态预测σ点集，基于滤波器观测方程，生成观测σ点集，利用统计学方法，获取观测σ点集自身的统计特性及其与状态预测σ点集的互协方差矩阵。

4.3 无迹滤波状态估计建模

利用式（1）所示的线性最小方差估计，基于式（14）、式（15）、式（17）～式（19）获取的状态预测与观测预测的统计特性，根据k时间的测量值Zk，获取状态值估计k及其协方差矩阵Pk。

5 雷达组网自适应平方根无迹滤波状态估计

将UF用于雷达组网状态估计需要对估计协方差矩阵Pk进行Cholesky分解，如果协方差矩阵Pk是负定矩阵，则Cholesky分解容易发散，有研究表明，通过QR分解和Cholesky因子更新方法，通过计算状态预测方差、观测预测方差的 Cholesky分解因子，用以替代Pk直接参与迭代。如式（22）所示，估计协方差矩阵Pk解算需要状态预测协方差、状态观测预测互协方差和观测预测方差，因此，Pk也可由和、综合表示，避免了对负定Pk进行Cholesky分解造成发散现象［16］。另外，不恰当的初值选取甚至会造成滤波发散，即使初值选取合理，但如果采样的观测预测点存在很大的误差，也会影响滤波精度，甚至造成滤波发散。本文通过权衡观测预测信息和观测信息来设定自适应因子，从而控制异常扰动对观测预测信息的影响，保证滤波能正常收敛。

如果ET=Q，则对ET进行QR再分解可得与ET同维数的矩阵，矩阵的上三角部分就是Pk=EET的Cholesky分解因子，基于这个原理，可令：

再对ET进行QR分解得到2n×n矩阵X

则n×n的上三角矩阵AX方阵就是EET的Cholesky分解因子，因此，状态预测方差PXXk|k-1可表示为：

同理，令

对观测预测方差进行自适应调节

对状态预测与观测预测协方差进行自适应调节，式（19）更新为：

直接用Cholesky分解因子进行迭代，则式（20）、式（23）变换为：

其中Sk是估计误差方差的Cholesky分解因子

式（39）表示进行序列cholupdate，再回到第一步的点集采样进行迭代。

6 自适应平方根无迹滤波初始化策略构建

由于本文只估计空域目标在融合中心坐标系的运动位置和速度，因此，滤波初始化可采用两点差分法，来确定ASQUF器的初始状态估计和初始协方差矩阵。

则基于两时刻的测量变换值，滤波器初始的估计误差表达式经整理如式（43）所示。

则滤波器初始协方差矩阵的二阶中心矩表达式如式（44）所示。

其中，具体表达式参见文献［17］。

7 仿真验证与结论分析

为了检验本文ASQUF算法，用于雷达组网目标状态估计的性能，采用仿真方法进行验证。仿真场景想定如下：组网雷达两部（雷达1和雷达2），其扫描周期T都为10 s，雷达1的距离测量精度为100 m，方位角测量精度为0.2°，俯仰角测量精度为0.3°，配置位置为［119°30°150］T。雷达2的距离测量精度为80 m，方位测量精度为0.3°，俯仰角测量精度为0.2°，配置位置为［118°32°50］T。融合中心的配置位置为［118°31°170］T。仿真目标航速为300 m/s，飞行航向角为60°，飞行高度7 000 m不变，飞行起点位置为［118°32.5°7 000］T，飞行地球大圆距离为300 km。Rk为k时刻探测点迹归属雷达的测量协方差矩阵，状态噪声设定为σx=0.05、σy=0.05、σz=0.05。

分别选取α=0.1，β=2，κ=-3，为了计算的简便性，特别假定两组网雷达对目标探测时间间隔均为5 s，两雷达间隔探测，则300 km仿真航程每1.5 km进行一次采样，全程共采样201个观测点集。初始状态估计X^0和初始协方差矩阵P0按式（22）、式（26）解算。为了与本文算法形成对比，对于同一仿真测试数据，使用EKF进行测试对比分析。文中所有仿真计算均重复100次。

图1 雷达组网仿真场景

图2 ASQUF位置估计、噪声化探测点迹、位置真值对比图（近区）

图1 为两部雷达组网仿真场景设置。图2是本文提出的ASQUF位置估计与噪声化测量点迹、位置真值的对比图（近区放大图），“+”形虚线表示真值点迹，“.”形点划线表示噪声化测量点迹，“*”形实线表示ASQUF估计。从图2可以看出，本文构造的初始化策略用于ASQUF算法收敛性很好，没有造成初始波动［18］。由于组网雷达测量噪声原因，测量点迹对比真实点迹，位置波动较大，但使用本文的ASQUF算法用于雷达组网目标状态估计时，估计值能够逼近目标真值。图3和图4为本文ASQUF与EKF的位置估计针对同一测试数据集的比较结果。可以看出，当空域目标距离两组网雷达较近时，ASQUF与EKF估计误差相差无几。随着空域目标与组网雷达的空间距离越来越远，EKF估计误差越来越大，渐趋发散。由此可见，EKF用于雷达组网目标状态估计时，在估计精度方面，要明显劣于本文构造的ASQUF效果。

图3 X方向ASQUF位置估计误差VsEKF位置估计误差（100次仿真结果统计）

图4 Y方向ASQUF位置估计误差VsEKF位置估计误差（100次仿真结果统计）

［1］李雪松，江旭敏.雷达组网技术研究［J］.探测与定位，2011（6）：9-14.

［2］韩晓威.雷达组网显控技术研究［J］.现代导航，2011，30（10）：367-370.

［3］金虎，王玉松，刘江波.陆上阵地雷达组网技术［J］.电子对抗，2011，28（3）：42-45.

［4］王晨熙，王晓博，朱靖，等.雷达与AIS信息融合综述［J］.指挥控制与仿真，2009，31（2）:1-4.

［5］方青.雷达组网数据融合处理中的点迹融合技术［J］.现代电子，2002，19（4）：5-12.

［6］陈科文，张祖平，龙军.多源信息融合关键问题、研究进展与新动向［J］.计算机科学，2013，40（8）:8-13.

［7］秦永元，张洪钺，汪叔华.卡尔曼滤波与组合导航原理［M］.西安:西北工业大学出版社，1998：1-43.

［8］Renato Z，Manoranjan M，Robert H B，et al.Norm-Constrained Kalman Filtering［J］.Acta Astronautica.Journal of Guidance ControlandDynamics，2009，32（5）:1458-1465.

［9］Wang Z D，Liu X H，Liu Y R，et al.An Extended Kalman Filtering Approach to Modeling Nonlinear Dynamic Gene Regulatory Networks via Short Gene Expression Time Series［J］.IEEE/ACM Transactions on Computational Biology and Bioinformatics，2009，6（3）:410-419.

［10］李明锁，井亮，邹杰，等.结合扩展卡尔曼滤波的CamShift移动目标跟踪算法［J］.电光与控制，2011，18（4）:1-5.

［11］Simon Julier，Jeffrey U，Hugh F D W.A New Method for the Nonlinear Transformation of Means and Covariances in Filters and Estimators［J］.IEEE Transactions on Automatic Control，2000，45（3）:477-482.

［12］Orlando X.Diaz.Analysis and Comparison of Extended and Unscented Kalman Filtering Methods for Spacecraft Attitude Determination［D］.California：Naval Postgraduate School，2010.

［13］Li P H，Zhang T W，Ma B.Unscented Kalman Filter for Visual Curve Tracking［J］.Image and Vision Computing，2004（22）:157-164.

［14］王璐，李春光.基于极大似然准则和最大期望算法的自适应UKF算法［J］.自动化学报，2012，38（7）：1200-1210.

［15］黄鹏，季新源，邱一文.某型火控雷达组网诱偏AEM研究［J］.四川兵工学报，2013（1）：29-32.

［16］Simon J J.The Scaled Unscented Transformation［C］// Proceedings of the American Control Conference.Jefferson City，2002：4555-4559.

［17］Rudolph V M，Eric A W.The Square-root unscented Kalman Filter for State and Parameter Estimation［J］.Proc. IEEE Ine'l Conf.Acoustics，Speech，and Signal Processing，2001（6）：3461-3464.

［18］赵温波，都基焱，卢达，等.组网雷达测量噪声在惯性坐标系中的统计特性研究［J］.炮兵学院学报，2010（5）：91-95.

Study on State Estimation Algorithm in Radar Networking Based on Adaptive Square Root Unscented Filter

ZHAO Wen-bo，DING Hai-long
（Army Officer Academy of PLA，Hefei 230031，China）

This paper analyzes the statistical nature of Unscented Filter（UF）used in Radar Networking System （RNS）for state estimation at from the perspective of minimum variance.And for problems that Cholesky decomposition in UF can't deal with non-positive semidefinite matrix，inaccurate initial value may cause filter divergence，and disturdance may interfere with filter result in RNS state estimation，this paper proposes Adaptive Square Root Unscented Filter（ASQUF）.Combining rational covariance matrix modeling in initialization，ASQUF improves engineering usability of UF.The simulating verification demonstrates that ASQUF algorithm proposed in this paper has smooth initialization and high precision of estimation and good engineering usability and better performance than Extended KFA（EKFA）.

radarnetworking，extended Kalman filter，unscented filter，adaptive squareroot unscented filter，initialization

TN95

A

1002-0640（2015）05-0043-06

2014-03-25

2014-05-07

国家自然科学基金（61273001）；安徽省自然科学基金资助项目（11040606M130）

赵温波（1972- ），男，吉林省吉林人，副教授。研究方向：数据融合，目标跟踪，统计信号处理。