用Mathematica实现光电效应实验的曲率法数据处理

徐金瑛,鲁晓东

(浙江海洋学院东海科技学院,浙江舟山 316000)

用Mathematica实现光电效应实验的曲率法数据处理

徐金瑛,鲁晓东∗

(浙江海洋学院东海科技学院,浙江舟山 316000)

通过对光电管中光电流成分的分析,知其大小是随电压呈曲线变化的。由此提出用Mathematica软件来拟合光电流的伏安特性曲线,并以曲线中曲率最大的点作为遏止电压点,有效减小了由主观方法估计带来的不稳定因素,提高了实验结果的准确性。

光电效应;光电流;遏止电压;曲率法

从爱因斯坦的光电效应方程可以看出,光子频率与其所对应的遏止电压之间是呈线性关系的。利用该关系,就可以通过实验的方法来确定普朗克常数[1]。在具体的测量过程中由于各种噪声的存在,使得遏止电压的变化规律受到一定程度的掩盖,影响了测量的可靠性。目前普遍使用的方法有两种,一种是用交点法,就是取曲线与横轴的交点,即光电流为零所对应的电压值,一般光电管中暗电流还是比较明显的,这势必会严重影响总电流为零时的电压值,所以准确度会比较低;另一种用拐点法,取曲线中斜率变化最大的点所对应电压值,这是符合实际遏制电压变化规律的,因此拐点法相对更有优势。但拐点法需要确定变化中何处是属于拐点的。这就要通过一条曲线拟合实验数据,然后通过拟合函数的某些特征来确定拐点的位置,本文提出根据曲线的曲率来确定拐点的位置,由于整个数据处理过程涉及大量的计算,尤其是符号计算,因此使用Mathematica软件明显比其他的软件[2-3]更具有优势。

1 光电流分析

由光电效应电路见图1可知,当光电管的反向电压足够大时,光电子就没有足够的动能到达阳极,即电流表上的电流会突变到零,此时的电压称为光电流的遏制电压。但实际上电电流表上的电流只是有些大的变化并没有产生突变到零的过程,这给我们确定该频率下光电流的遏制电压大小带来了困难。但只要对光电流的成分作进一步的分析,电流的变化还是有规律可循的。

图1 光电效应实验原理图

首先光电管阴极表面由于氧化各点的逸出电位是不一样的,所以同一频率光量子下激发出的光电子动能不一样,即光电流会随反向电压的增大缓慢趋于零点的,所以实验尽量使用新的的光电管,最大程度保证电流突变的特性。另外在阳极也常会有一些阴极材料,在杂散光照射下产生反向阳极电流,这部电流相对较小,但足以影响电流为零时的位置。还有就是整个电路工作时存在的本底电流即暗电流,这部分电流随电压变化很小。所以不同电流成分的叠加在一定程度上淹没了阴极电流(图2),但其突变的特点还是存在的。阳极电流的电流变化相对阴极电流几乎可以忽略的,且阴极的氧化部分认为是小部分的,这部分电流随电压的变化相对较小,所以认为实测电流的变化最大处Vs’与阴极电流的Vs处几乎一致,也就是曲线曲率最大的地方。

图2 光电流变化曲线图

2 曲率法的实现

2.1 曲线曲率的求法

图3 曲线曲率定义

2.2 曲率的软件计算步骤

(1)通过实验数据离散点给出拟合模型

实验所关心的数据点分布在电压反向时曲线趋向于零的这一部分,从图2可以看出曲线符合指数表达的形式:即y=c+eax+b,所要注意的就是拟合出来的曲线不是真正电流变化的曲线,而是其数值上的逼近,因此尽量选择拐点附近的数据。

(2)用FindFit[]求出参数

Mathematica软件提供了基于最小二乘方法的曲线拟合的工具[5]Fit[],FindFit[],前者适合用于多项式,后者适合于一般形式的函数,例如: Findfit[data,c+Exp[a+b x],{a,b,c},x],其含义即:求出a,b,c的值,使函数y=c+eax+b符合对实验数据data的最小二乘拟合。

(3)按定义求曲率

在根据实验数据计算出a,b,c后,f(x)的形式已经确定,便可以由(1)式计算出曲率的函数表达式。

(4)用FindMaximum[]找出最大点

按实验条件确定的数据范围,画出光电管的伏安曲线,并通过FindMaximum[]找出范围内的曲率最大值对应的电压值,并标上标记。

3 实验结果与分析

本例用实验室所测一组数据来说明分段线性拟合方法的使用,实验使用GD-Ⅲ型光电效应实验仪,低压汞灯光源。分别对波长为 365 nm、405 nm、436 nm、546 nm、577 nm的光谱源进行测量,所测数据如表1。

表1 实验数据

按步骤逐步输入Mathematica符号命令:

(1)输入实验数据

data={{-3.00,-3.8},{-2.5,-3.73},{-2.00,-3.60},{-1.75,-1.10},{-1.50,7. 86}};

在观察中发现数据突变一定在电压为-1.50以下,所以可以舍弃-1.50以上组。

(2)求出拟合参数

p=FindFit[data,c+Exp[a+bx],{a,b,c}, x]

得到拟合参数:

{a→11.4203,b→5.9708,c→-3.8779}

因此曲线的函数为

y[x_]:=c+Exp[a+bx]/p;

即:-3.877977+e11.420+5.9708x

显示该曲线gcurve=Plot[y[x],{x,-4.,-0.0}];如图4所示,可以看出拐点在x<-1的区域。

图4 拟合的伏安曲线

图5 曲率分布

(4)求出曲率并画出值的分布

得到:

结果如图5,曲线在该范围内存在极大值。

(5)找出拐点

确定拐点位置,根据图5,查找范围为[-4,-1];

point=FindMaximum[{k,-4£x£-1},{x, -3}];

得到显示拐点的坐标point,其中point[[2]]为{x→-2.270}即遏止电压值,在图形上用“”标出该位置,同时画出原始数据点和拟合伏安曲线如图6,以观察该点的位置是否合理。

图6 拐点的图示

gmark=ListPlot[{{x/.point[[2]],y[x]/. point[[2]]}},PlotStyle->{Red},PlotMarkers→{}];gcurve=Plot[y[x],{x,-4.,-1.2}];

gdata=ListPlot[Table[data[[i]],{i,1, 4}]];

Show[gcurve,gmark,gdata,GridLines→Automatic]

其他数据按同样的步骤处理,得到结果如表2。

表2 处理结果

由光电效应原理[6],当入射光的频率v等于金属材料的截止频率v0时,遏止电压Vs=0,此时光子的能量刚好提供给金属的逸出功。此时遏止电压与光子频率的关系写为:

Vs与v是一种简单的线性关系,由此关系可以计算出普朗克常数为h=(6.53±0.25)×10-34J·S

4 结 论

光电效应实验的关键是确定遏止电压,用曲率法就是最大程度符合当达到遏止电压时电流会突然的特点,这个突变点可以通过曲线的形状来估计。使用Mathematica软件则简化了曲线的拟合与拐点的计算数学过程,并使结果达到优化,减少了人为估计的不确定性。所要注意的就是用计算机进行数据处理时,需要结合人工的分析,例如数据范围的调整,如果不注意容易引入一些局部最优值[7-9]。

[1] 竺江峰,芦立娟,鲁晓东.大学物理实验[M].北京:中国科学技术出版社,2005.

[2] 李雄,朱琳.运用Matlab辅助测量普朗克常量[J].物理实验,2008,28(12):33-35.

[3] 刘绒侠,王党社,彭首军 用origin软件处理物理实验数据[J].大学物理实验,2008,22(2):91-93.

[4] 唐宗贤,徐玉民编.高等数学(上)[M].北京:国防工业出版社,2007.

[5] 张韵华,王新茂编.Mathematica 7实用教程[M].合肥:中国科学技术大学出版社,2012(1):137-142.

[6] 卢德馨编.大学物理学 [M].2版.北京:高等教育出版社,2004:110-119.

[7] 林木欣,熊予莹,高长连,等.近代物理实验教程[M].北京:科学出版社,2004.

[8] 王栋,张云云.基于Matlab光电效应测量光速的新方法研究[J].大学物理实验,2014(4):77-79.

[9] 陈小凡.光电效应实验的伏安特性曲线[J].大学物理实验,2014(3):82-87.

Data Processing w ith Curvature M ethod Based on M athematica in Photoelectric Effect Experiment

XU Jin-ying,LU Xiao-dong
(Donghai Technology College,Zhejiang Ocean University,Zhejiang Zhoushan 316000)

By analyzing the components of photocurrent in Phototube,it is said that the current changes in stage following with changing of its voltage.A method based on Mathematica is proposed to fit the volt-ampere characteristics curve of photocurrent,and to regard the point where the curvature goes to maximum as cut-off voltage.Themethod reduced the negative effect from subjective estimation,so the accuracy of experimental results is promoted.

photoelectric effect;photocurrent;cut-off voltage;curvaturemethod

O 4-39

A

10.14139/j.cnki.cn22-1228.2015.006.028

1007-2934(2015)06-0094-04

2015-07-06

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