例析函数含参问题中的分类讨论与分段讨论

魏国达

摘 要：在高中数学思想方法中，分类与整合思想是非常重要的思想方法之一。这种思想在解决有关含参的问题中更是显出它的重要性。分类与整合思想有两种形式：参数的分类讨论与自变量的分段讨论。学生在运用时往往混淆不清，特别是在整合的结果上分不清是取交还是取并。通过对例题的解析谈谈分类讨论与分段讨论。

关键词：数学思想；分类讨论；分段讨论

高中数学的七大数学思想中，分类与整合思想是很重要的思想方法之一。福建2015年《考试说明》中指出：“分类与整合思想不仅是解决数学问题的常用方法，也是其他自然科学和社会科学研究的基本逻辑方法，高考把分类与整合思想放在比较重要的位置，并以解答题为主进行考查。”分类与整合思想方法应用于高中数学的各个章节中，特别是在分段函数与含有参数的函数问题中更是体现得淋漓尽致。在含有参数的函数问题中讨论有两类：对于参数的分类讨论和对于自变量的分段讨论，然而学生在对于是分类讨论还是分段讨论混淆不清，也不知如何整合结果。这里结合一些例题谈谈函数中含参问题的分类讨论与分段讨论。

一、对参数的分类讨论

1.含参的函数问题中研究的对象是自变量时，若需对参数进行分类讨论，且自变量的范围在参数的每一种分类中都是完整的，这种讨论方法为参数的分类讨论法，其整合的结果为各类结果的并集。

2.含参的函数问题中研究的对象是参数时，常用分离参数的方法。若参数不好分离，则对参数进行分类讨论，且在每一类的讨论中自变量的范围保持完整不变。其参数所求的结论是各类结论的并集。

二、对自变量的分段讨论

用分离参数的方法研究含参问题中参数的取值范围时，若在分离参数的过程中要对参数的系数进行讨论，即要把自变量的范围分割成几个小范围进行求解时，则应对自变量采取分段讨论的方式，其参数的结果应取每段结果的交集。

三、分类讨论与分段讨论的区别与联系

含参的函数问题中，不论研究对象是参数还是自变量，若以研究对象作为主体进行讨论时，则是分类讨论，其结论为各类结论的并集；若研究对象不动，以另一个对象为主体进行讨论时，则是分段讨论，其结论为各段结论的并集。以研究对象作为主体进行讨论其实是对研究对象自己进行分段讨论；研究对象不动，以另一个对象为主体进行讨论时，其实是对另一对象进行分类讨论。这两种分类方法实际上是解决问题的两种不同的思维途径，它们之间是可以相互转化的，如解决含参问题中求参数的范围时，既可对参数分类讨论，也可对自变量进行分段讨论。

总之，含参问题中都是围绕着所求对象展开的，无论是对哪个量进行讨论，分类的对象都要科学分类，且分类标准要统一，做到不重不漏，并能科学地研究、合理地整合结果。

？誗编辑 鲁翠红