对秦九韶算法教学的几点思考

王永婷

摘 要：本文就秦九韶算法的教学中如何既体现新课程、新理念、新课标，又注意结合旧知识，调动学生的积极性，培养学生的自主探索能力及学习兴趣提出几点思考，供交流学习。

关键词：算法；秦九韶算法；教学；新课标

数学是一门思维的学科，而逻辑思维能力是数学学科能力的核心，是数学的“灵魂”。在新的课程标准中，对《算法初步》加以要求和考查，是提高学生思维素质和能力的又一重要途径。但是，多数教师都没有算法的教学经验，该内容具有很大的挑战性。

我们学校使用人教A版教材，《算法初步》一章内容的教学已经结束。还存在两个突出的问题：一是教师不注重挖掘教材中隐含的数学思想方法，对数学逻辑思维在教材中的层次性缺乏深度的思考和认识，缺乏教学的整体规划和安排。二是只注重数学思想方法结论的解析和证明，忽视了对数学思想方法的抽象、概括或探索推理的心智活动过程。其结果就是学生没有体会到对问题的探究从而形成认知的过程，更未形成建立和发展分析模式、应用模式、建构模式与鉴赏模式的能力。“知其然而不知其所以然”，不能够举一反三，欠缺站在巨人的肩头去研究、分析新的问题的能力。这无疑与数学新课标的目的是相去甚远的。

以下以秦九韶算法的教学，谈谈自己的几点思考

从一道已学过的习题出发在求解过程中引概念，并且把算法思想方法渗透在高中数学课程及其有关内容中，鼓励学生运用算法解决有关问题。

以下是教材（人教版高中《数学》必修3，第39页“秦九韶算法”中的内容

怎样求多项式当x=5时的值呢？

一个自然的做法是把5代入多项式，计算各项的值，然后把它们加起来，这时一共做了=10次乘法运算、5次加法运算。

1 逐渐渗透算法意识，为算法学习铺路

对数学概念的认识，既要呈现知识，又要使学生体会人类认识数学经历的一切，因此很多时候教材中只能看到漂亮的结论和严格的证明。由此产生的认识困难问题必须通过教师的教学加以解决。这就需要教师首先了解清楚所教的内容的发生发展过程，在教学过程中，有意识有目的的设置一些情境，从具体事例和事实中帮助学生发现、抽象、概括；并能加强自身的综合素养，这就需要教师采用数学探究性课堂教学。

思考1 对计算机来说，做一次乘法运算所用的时间比做一次加法运算要长的多，所以能否找到其他的做法，减少乘法的运算次数，从而提高运算效率？

教师引导学生分析、推理：另外一种做法是先计算x2的值，然后依次计算，，的值，这样每次都可以利用上一次计算的结果。这时，我们一共做了4次乘法运算，5次加法运算。

思考2 我们知道，这是只对求多项式当x=5时的值而言的，那么再举一例如下：求多项式当x=2时的值？

教师引导学生解答：利用思考1总结出来的方法，每次计算利用上一次结果。所以解决办法如下：

将原式变形如下

将x=2代入上式，从内往外依次计算

用具体实例练习，让学生在实例中体会上述运算方法。

教师小结：上述方法为秦九韶算法。直到今天，这种算法仍是多项式求值比较先进的算法，同时介绍秦九韶——秦九韶（约1202--1261），中国南宋数学家，字道古，四川安岳人。先后在湖北，安徽，江苏，浙江等地做官，1261年左右被贬至梅州，（今广东梅县），不久死于任所。他与李冶，杨辉，朱世杰并称宋元数学四大家。早年在杭州“访习于太史，又尝从隐君子受数学”，1247年写成著名的《数书九章》。《数书九章》全书凡18卷，81题，分为九大类。其最重要的数学成就----“大衍总数术”（一次同余组解法）与“正负开方术”（高次方程数值解法），使这部宋代算经在中世纪世界数学史上占有突出的地位。

2 注重将“算法”提升到“程序框图”的层面

数学“算法”与“程序框图”之间，并不是毫无关联的。在数学中，我们习惯上把按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤称为算法。而把一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形称为程序框图。程序框图揭示的是算法所描述的每一步骤，为算法的描述起到抽象概括的作用。因此，要注重将“算法”提升到“程序框图”的层面。提高学生的数学“意识”，这对拓展学生的思维形成“程序框图”是十分重要的。

思考1 观察上述秦九韶算法中的n个一次式。在秦九韶算法中反复执行的步骤是什么，应该用什么结构来实现？

教师引导学生分析：观察秦九韶算法的数学模型，计算时要用到的值。若令可以得到下面的递推公式：

（v=1、2、3……n）

这是一个在秦九韶算法中反复执行的步骤，可以用算法逻辑结构来实现。

由秦九韶的概念得出算法步骤如下：

第一步：输入多项式次数n，最高次项的系数和x的值。

第二步：将v的值初始化为，将i的值初始化为n-1。

第三步：输入i次项的系数。

第四步：

第五步：判斷i是否大于或等于0，若是，则返回第三步；否则，输出多项式的值v。

3 注重“程序框图”写出“程序”并进行迁移、运用

把算法转化为计算机可执行程序，应用计算机解决相应的问题， 从而让学生体会到虽然有时算法过程很复杂或计算很繁杂，但在计算机上运行，很快就可以获得解决问题的结果，并且一种算法可以解决一类的问题。如果说对秦九韶算法的学习是“认识”，那么，让学生对秦九韶算法的认识过程及运用则是“实践”，实践——认识——再实践——再认识。这是认识发展的必然规律。因此，教师要精心设计训练的平台。将秦九韶算法的思想与学生原有知识建立起联系，让学生感受到中国古代数学对世界数学发展的贡献。通过对秦九韶算法的广泛应用、丰富其联想的空间，懂得“来龙去脉”。教育心理学表明，学习的疑难太多，会影响到学生的信心，对于一些新的知识，其与学生已有的知识没有内在的逻辑联系，必须提前给予解释，对于如何表述要给予示范。如程序框图中使学生的思维更规范、更科学。对秦九韶算法的认识、理解，不仅来源于会写算法，会将算法转化成程序框图，更来源于用程序框图写出计算机识别的程序。由以上程序框图对应写出程序：

第一步 INPUT n

INPUT

INPUT x

另一种写法：INPUT “n，，x”；n，，x

评析： 如果不注意输入语句的格式，则写出的程序，计算机就不会执行或输出错误的信息，这是很多学生常犯的错误。

第二步 LET

LET

评析：学生在写赋值语句时常常一句给出多个变量赋值，这也是错误的。

第三步 WHILE

INPUT “”；

WEND

评析：根据程序框图及前面提到的循环结构，递推公式。引导学生选对循环语句写出程序，问题就会迎刃而解。

以上可见，即使是教材中某一段不起眼的内容，通过对解决具体问题过程与步骤的分析。也能体会到算法的思想，理解算法的含义；通过模仿、操作、探索、经历通过设计程序框图表达解决问题的过程。在具体问题的解决过程中，理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序、条件分支、循环。经历将具体问题的程序框图转化为程序语句的过程，理解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句，进一步体会算法的基本思想。

把算法转化为计算机可执行程序，应用计算机解决相应的问题， 从而让学生体会到虽然有时算法过程很复杂或计算很繁杂，但在计算机上运行，很快就可以获得解决问题的结果，并且一种算法可以解决一类的问题。让人从一些机械重复、繁杂的工作中解放出来。 同时通过电脑操作，让学生自我去探索，及时验证自己的算法是否可行，及时获得成就感，激发其学习兴趣，也符合新课程的理念。我们拥有丰富的资源，只要认真去探索，研究，实践，我们是可以大有作为的，这也是数学教师的重要使命。

参考文献

[1]《普通高中数学课程标准（实验）解读》 江苏教育出版社 2004年4月第1版

[2]《普通高中课程标准实验教科书数学必修3》 人民教育出版社 2004年7月

[3]《600分专题》 中国青年出版社 2011年7月