FRP约束混凝土圆柱应力-应变模型的适用性

熊海贝，李奔奔，江佳斐

（同济大学 结构工程与防灾研究所，上海200092）

近年来地震频发，既有建筑物构件震前加固及受损构件震后加固受到国内外学者的关注.常用的加固材料为纤维增强复合材料（fiber reinforced polymer，FRP）.通过围裹FRP 为混凝土柱提供侧向约束力，使混凝土处于三向受压状态，可提高混凝土柱的强度及延性.FRP 材料加固混凝土操作简单、加固效果较好，故在工程界得到广泛应用.

应力-应变关系反映了材料在受力过程中因内部微观变化而引起的宏观表象，是混凝土结构设计的基本要素.由于混凝土材料具有应力路径相关性，应力-应变关系会随外界受力关系的变化而变化.在FRP约束下，建立一个力学概念清晰、准确的应力-应变关系是FRP加固混凝土柱性能设计的基础.国内外学者对应力-应变模型进行了大量的实验研究.根据模型建立的方法，已有的模型可分为设计型模型和分析型模型［1］.设计型模型通过应力-应变曲线的拟合，结合关键点的回归公式，以数学公式直接描述混凝土在FRP 约束下的轴向应力-轴向应变关系［1-3］.分析型模型考虑FRP 与混凝土的相互作用过程，将混凝土的侧向变形和侧向围压的相关性引入到模型中，借助混凝土在FRP约束下侧向应变与轴向应变的关系以及恒围压下混凝土的应力-应变模型，通过增量法给出混凝土的应力-应变曲线［4-6］.针对现有的众多模型，明确各类模型的适用性是合理选取模型进行结构分析的重要前提，目前尚未有详尽的研究结果.本文通过归纳已有的由FRP约束混凝土圆柱实验数据建立起来的设计型模型和分析型模型，系统分析2类模型各自的适用性.

1 设计型模型

在实际工程中，混凝土柱表面围裹FRP布的层数不定.不同数量的FRP 对混凝土的加强作用不同.根据FRP约束混凝土圆柱实验结果，可将混凝土在FRP约束下的力学性能表现分为2类，如图1所示.第一类为强约束，即在加载全过程，随应变εc的增加，混凝土的应力σc持续增长，混凝土出现应变硬化.第二类为弱约束，即约束混凝土在达到峰值应力σcp之后，随着应变的增加，应力下降，应力-应变曲线呈应变软化.对于强约束和弱约束混凝土，分别采用不同的数学模型.已有的大部分模型是针对强约束混凝土建立起来的［7-9］.

图1 强／弱约束混凝土应力-应变关系Fig.1 Stress-strain relationship of concrete under high／weak confinement

1.1 应变强化模型

应变强化模型最初采用箍筋约束模型，但FRP为线弹性材料，加载过程中提供的侧向力随混凝土侧向变形的变化而变化，这与钢筋屈服后应力保持不变不同.研究者根据两者的区别，提出适用于FRP约束混凝土的强化模型，这些模型主要分为双线型模型、三线型模型和抛物线-直线／近似直线模型3类.

双线型模型［2，3，7］通过连接转折点（εct，σct）和极限点（εcu，fcu）来确定整条曲线（见图2）.其中，εct、σct分别为转折点处混凝土的轴向应变、轴向应力；εcu、fcu分别为混凝土的极限轴向应变、轴向应力.在初始上升段，由于FRP 提供的侧向约束力较小，这段曲线与未约束混凝土的轴向应力-轴向应变曲线相似，转折点取为未约束混凝土轴向应力-应变曲线峰值点（εc0、fc0）.

图2 FRP约束混凝土的双线性应力-应变模型Fig.2 Bilinear stress-strain model of FRP-confined concrete

图3 FRP约束混凝土的三线型应力-应变模型Fig.3 Trilinear stress-strain model of FRP-confined concrete

三线型模型［8］将曲线分为3 个阶段（见图3）：第一阶段与未约束混凝土曲线相同，分界点为混凝土开裂点，fc1和εc1为混凝土开裂应力和开裂应变；第二阶段为达到未约束混凝土强度附近的过渡区域，转折点（εc2，σc2）由式（1）和（2）确定；第三阶段即为FRP充分发挥约束作用的加强阶段.

式中：Efrp、tfrp分别为FRP 布的弹性模量和厚度，D为混凝土圆柱体直径.

为更接近实验结果，实现过渡区的光滑连接，在曲线的初始阶段使用抛物线，在加强段使用直线，或者采用统一的非线性表达式，即为抛物线-直线／近似直线模型.该类模型中比较有代表性的为文献［1］及文献［9-11］提出的模型（见图4）.

图4 FRP约束混凝土的抛物线-直线／近似直线应力-应变模型Fig.4 Parabolic-linear／approximately linear stressstrain model of FRP-confined concrete

Toutanji［9］修改了箍筋约束混凝土的应力-应变模型，得到FRP约束混凝土应力-应变表达式：

式中：

其中，σct、εct分别为强约束混凝土应力-应变曲线的转折点应力及应变.第一段曲线的初始斜率Ec1为未约束混凝土弹性模量，第二段斜率Ec2为拐点处的切线斜率.

Richart等［10］提出的四参数模型也得到了广泛的应用［12-14］：

式中：f0为轴向应力-应变曲线与σc轴交点的应力.

模型中采用2段斜率：在初始弹性上升段的斜率Ec1以及第二段的极限斜率Ec2.n为形状系数，以保证两部分可以光滑连接，其取值影响曲线转折区的弧度.文献［13］取n＝1.5，文献［14］取n＝2.n 的差异在于两者采用不同的方法确定n 值.文献［13］中的模型中首先由实验数据回归确定Ec1、Ec2、f0，再确定n值，而文献［14］通过直接设定n 值来推导模型中的Ec1、Ec2、f0.2 种模型均能较好地模拟FRP约束混凝土的特性，故n 的取值范围为1.5～2.0，模型对n的取值并不敏感.我国《纤维增强复合材料建设工程应用技术规范》（GB50608-2010）［17］也采用该模型.

文献［11］中的模型在转折点前采用抛物线，转折点处抛物线的斜率为0，转折点之后采用直线：

式中：Ec2＝（fcu-σct） ／（εcu-εct）.

在众多应变强化模型中，文献［1］中的模型比其他模型具有更高的准确性［15-16］：

式中：

fl为侧向约束力，fl＝2Efrpdfrpεfrp／D，εfrp为FRP 布的断裂应变.模型中εc＝0处的初始斜率采用未约束混凝土弹性模量Ec，通过点（0，f0）和极限点（εcu，fcu）确定直线段，根据切线斜率与直线段斜率相同确定转折点.

1.2 应变软化模型

应变软化模型借鉴强化模型的函数形式，采用抛物线-直线型模型［18-19］（见式（7））或更改系数后的四参数模型［20］（见式（4）），如图5所示.

图5 应变软化模型Fig.5 Strain-softening model

式中：σcp、εcp分别为弱约束混凝土的峰值轴向应力及相应轴向应变.

Wu等［21］对应变软化提出了抛物线方程与曲线方程组合而成的应力-应变模型：

式中：

1.3 统一模型

随着研究的深入，这2种情况被统一起来，用统一的表达式来确定FRP约束混凝土的轴向应力-轴向应变曲线，称其为统一模型［21-25］.模型表达式一般采用分段函数，根据分段点应力σcp与极限应力fcu的相对大小决定曲线是上升还是下降，抑或采用参数界限值判定应变强化／软化.

Teng等［22］采用二次抛物线方程模拟第一分段，采用直线方程模拟第二段（见图6（a））：

式中：fc0为未约束混凝土单轴抗压强度.该模型采用刚度比ρk（ρk＝2Efrptfrpεc0／（D fc0））来判断应变强化／软化，其中εc0＝0.002.通过实验数据回归获得界限值：当ρk＜0.01时为应变软化；当ρk≥0.01时为应变强化.该模型也被美国ACI规范［23］采用，该规范采用围压比β≥0.08（β＝fl／fc0）作为判定应变强化的依据.

Youssef等［24］在应力-应变曲线的第一段采用Hoshikuma等［19］提出的一元多次函数，第二段则采用直线式（见图6（b））：

其应变强化与应变软化通过应力极限值fcu和分段点σcp的比值来判定.通过实验数据回归出特征点的特征方程：

图6 FRP约束混凝土统一型应力-应变模型Fig.6 Unified stress-strain model of FRP-confined concrete

式中：εc0＝0.002.该模型在第一段应力-应变曲线中考虑了应变强化与应变软化的差异的影响，体现在应变软化的第一段曲线前期的刚度递减率小于应变强化的前期刚度递减率（见图6（b））.由此得出，随着FRP布约束刚度的提高，初始刚度降低.该现象与实验现象存在差异，这也是该模型在模拟试件出现应变软化时产生偏差较大的原因.

Wu等［21］提出了2种统一模型：模型II和模型III.模型II采用与文献［25］相似的方法判定极限应力fcu和过渡应力σcp的比值判定相应的方程.不同于其他模型，该类模型将全曲线用统一模型模拟：

式中：x1＝εc／εcu；n1＝Ec／（Ec-Esec1）；

Esec1＝fcu／εcu；x2＝εc／εct；

n2＝Ec／（Ec-Esec2）；Esec2＝σcp／εcp.

模型III［21］采用与文献［22］类似的方法模拟应力-应变曲线.模型III采用抛物线方程和直线方程：与文献［21］提出的模型III类似，文献［25］中的模型亦采用抛物线方程和直线段来模拟FPR约束混凝土的应力-应变关系（见图6（c））.应变强化／软化的特征体现在极限应力fcu和过渡应力σcp的比值上.

1.4 极限应力及极限轴向应变

对于FRP约束混凝土的极限应力fcu和极限轴向应变εcu的模型，通常采用实验数据回归获取经验公式.对于应变软化曲线，此节所指为极限应力和对应的轴向应变为峰值状态.在众多的研究结果中，其表达式一般采用如下形式：

式中：c1、c2、k1、k2及α1、α2均为常数，fl，a为FRP 约束混凝土的实测最大围压值.由于不同研究者采用的数据库在试件数目，类型等方面存在不同，且混凝土实验结果存在一定的离散性，表达式的各系数有所差异，如表1所示.其中，σcp为弱约束混凝土的峰值 应 力，εcp为 弱 约 束 混 凝 土 的 峰 值 应 变，f30＝30 MPa.

表1 设计型模型的极限应力、极限应变表达式Tab.1 Ultimate axial stress and corresponding axial strain in design-oriented models

续表

2 分析型模型

分析型模型考虑了核心混凝土与外围FRP 的共同作用，通过受力平衡和变形协调方程反映2种材料的协同工作的过程.分析型模型无须区分强约束与弱约束情况，通过增量法描述FRP材料约束混凝土的轴向应力-轴向应变以及轴向应力-侧向应变的全曲线.现行分析型模型的运算过程基于应力路径不相关的假设如下：在约束增长的过程中，对于某一给定的侧向应变（即某一围压水平下），FRP约束混凝土的轴向应力、轴向应变与相同围压下的主动约束混凝土的轴向应力、轴向应变相同.分析型模型以主动约束模型为基础，分别求解FRP约束混凝土在某一侧向应变值时对应的轴向应变与轴向应力，直至横向应变达到FRP环向断裂应变εh，frp，从而获得完整的FRP约束混凝土的轴向应力-轴向应变曲线（见图7）.由此可知，确定一个分析型模型的主要因素为轴向应变-横向应变关系（膨胀函数）和主动约束模型.

图7 分析型模型计算流程图Fig.7 Calculation flow chart of analysis-oriented model

2.1 FRP约束混凝土的轴向应变-横向应变关系

图8 轴向应变-横向应变关系Fig.8 Axial strain-lateral strain relationship

在FRP 约束混凝土中，混凝土的轴向应变-横向应变关系将核心混凝土与提供被动约束力的FRP外包裹层紧密联系起来.已有模型中采用的轴向应变-横向应变关系可分为直接模型［4-6］和间接模型［26-27］.直接模型是指从FRP约束混凝土实验数据中回归解析得到直接模拟FRP 约束混凝土的轴向应变-横向应变的关系.间接模型是利用主动约束下混凝土的轴向应变εc与横向应变εl的关系，采用增量法递推得出FRP约束混凝土的轴向应变-横向应变关系.在直接模型中，随着混凝土轴向应变的增长，横向应变的增长速率会增大，并向某个恒定值靠近，而在间接模型中，横向应变会随着轴向应变以同一速率增长直至破坏.如图8所示为由各模型与实验数据［28-30］得到的轴向应变-横向应变曲线.图8（a）中试件混凝土强度fc0＝30.9 MPa，由2层FRP布围裹，FRP 布弹性模量Efrp＝219 GPa，厚度tfrp＝0.33mm［28］.图8（b）中 试 件 混 凝 土 强 度f′c0＝36.67 MPa，由2层FRP 布围裹，FRP 布弹性模量E′frp＝242GPa，厚度t′frp＝0.33mm［29］.图8（c）中试件混凝土强度f″c0＝47.6MPa，由3层FRP布围裹，FRP布弹性模量E″frp＝250.5GPa，厚度t″frp＝0.33mm［30］.由图8 可知，间接模型在混凝土变形的初始阶段模拟效果较好，但在变形发展的后期与实验值差别较大.这说明应变存在应力路径相关性.与之相比，直接模型可以更好地模拟FRP约束混凝土的轴向应变-横向应变关系，曲线斜率的变化体现出FRP约束对混凝土膨胀的影响.

2.2 主动约束模型

2.2.1 轴向应力-轴向应变关系 在确定主动约束混凝土应力-应变曲线时，需要确定符合应力-应变形态的表达式.

大部分模型采用的是由Popovics 提出的模型［31］，被Mander［32］首次引用到钢筋约束混凝土中，该模型表达如下：

该模型误差 率 低，被 众 多 研 究 者 参 考 使 用［4-6，30，35，49］.

此外，主动约束模型也有其他函数形式.陶忠等［33］采用的主动约束模型为文献［34］中的模型：

式中：X＝εc／ε′cc，A、B、C、D 分别为由特征点推导出的系数.

2.2.2 主动约束混凝土峰值应力、峰值应变 主动约束混凝土应力-应变曲线的峰值点应力即为其抗压强度.峰值应力的大小也决定了主动约束混凝土的破坏面.在确定峰值应力时，使用最广泛的是文献［32］中的模型：

式中：σl为侧向约束力.在考虑FRP 约束时，σl＝2Efrptfrpεl／D，εl为混凝土侧向膨胀量，在极限点时采用断裂时的侧向约束力fl，a［26］，当同时考虑箍筋和FRP约束时，σl的表达式更为复杂［35］.

在众多主动约束混凝土的峰值应变表达式中，由Richart［36］提出的模型使用最为广泛：）

式中：εc0一 般 取0.002 左 右 的 定 值［35，37］，也 有 研 究者认为εc0为fc0的函数［4，27］.

3 模型适用性分析

3.1 设计型模型适用性

在选用设计型模型时，其中一类需要首先判定应变强化／软化.目前划分强化和软化的准则主要通过选取判定参数和求解界限值.判定参数分为2类：围压比β［1，3，20］和约束刚度比ρ［22］，其中，

通过建立数据库，采用回归方法来确定其界限值是目前众多研究中常用的求解方法.另一类设计型模型不需要提前判定，然而与上述设计型模型一样，该类设计模型的极限点与转折点均与围压比相关.

自研究初期起，围压比β被广泛应用于FRP约束混凝土应变强化／软化的判定准则.然而，不同学者给出的界限值差别较大，β 为0.07～0.20（见表2）.各界限值由实验曲线直接或间接确定.试件为各类FRP材料（CFRP、GFRP、AFRP）包裹的混凝土圆柱体.各研究的试件个数如表2 所示.美国ACI规范将强化与软化的界限值取为0.08［20］.在早期研究［8-9，11，13，42］中，εfrp采 用FRP 材 料 在 拉 伸 实 验 中 的极限拉应变.后来研究［1-3，20］发现，FRP 在围裹混凝土柱之后，破坏时的实际平均侧向（εh，frp）远低于材性实验中的极限拉应变εfrp，因此，本文引入有效约束系数kε（kε＝εh，frp／εfrp）来衡量FRP极限拉应变的折减.忽略该折减因素会高估围压比的界限值.美国ACI规范［23］中考虑该折减系数，保守取值为0.55.然而，施工工艺、产品材料以及测量方法的差异将导致折减系数存在不确定性.Wu等［29］在研究中发现细致的施工工艺和5个以上侧向应变采集方式可以消除不确定性的影响，而产品的差异在相同的施工工艺和测量方法下可产生较大的差异，如：Toray和Sika的CFRP因产品差异可导致kε产生约40%的差异.目前尚无研究对这类因素的影响程度进行定量分析［45］.该差异性使折减系数存在较大的离散性.现有的公开实验数据表明：kε的变化范围为0.5～0.8［2，29-30，43］.FRP折减系数的不确定性直接引起被校核试件真实围压比β值的不准确性，从而导致设计型模型的适用性存在局限性.Wu等［18］按照围压比判定方法发现模型在预测应变软化的情况下效果不佳.这说明采用围压比作为判定参数会给模型的计算结果带来误差.

表2 判定应变强化／软化界限值Tab.2 Threshold value of classifying strain-hardening／softening

约束刚度被学者们认为是主要的影响因子［45-46］.除了将约束刚度作为单独考虑因子，一些学者在判定准则中同时考虑刚度比和围压比［39-40］.约束刚度比ρ为常用的判定参数.该参数仅与FRP材料的弹模、厚度、混凝土柱体的直径和素混凝土强度有关.这些材料参数的不确定性均为已知.我国《纤维增强复合材料建设工程应用技术规范》（GB50608-2010）［17］将临界约束刚度比定为6.5.当ρ＞6.5时为强约束，当ρ≤6.5时为弱约束.Jiang等［41］通过塑性理论验证了约束刚度比与应力-应变趋势的相关性，发现应力-应变曲线的第二段曲线的斜率与约束刚度比存在一一对应的关系，同时该研究推导出界限值ρ0＝6.29.该值与Teng等［22］通过数据直接回归得到的结果相近.因此，判定因子的形式及数据库是影响判定准则适用性的主要因素，引入约束刚度比将改善设计型模型的适用性问题.

3.2 分析型模型适用性

分析型模型以主动约束（钢材约束、恒静水围压）混凝土的应力-应变模型为基础模型.假设FRP约束混凝土在与恒定约束力下的混凝土处于相同围压水平时，对于给定的横向应变，混凝土的轴向应力和轴向应变相同.这一假设是多数FRP约束混凝土分析型模型的基础，但随着围压水平的提高，这一假设并不合理.Xiao等［47］指出当FRP 材料的约束刚度越小、混凝土强度越高时，基于应力路径无关假设的分析型模型的计算结果与实验结果差异越明显.因此，应力路径的影响程度决定了分析型模型的适用范围.

为研究不同应力路径对混凝土抗压承载力的影响，分别建立2组数据库：

1）FRP全长约束混凝土标准圆柱应力-应变全曲线数据库.以全长包裹FRP 的混凝土标准圆柱（直径150mm，高300mm）的轴心受压试件为研究对象，共收集287个实验数据［48］.其中，FRP种类包括碳纤维（CFRP）、玻璃纤维（GFRP）以及芳纶纤维（AFRP）；混凝土强度fc0范围为20.57～111.6 MPa；约束刚度比ρ 范围为2.01～129.76；在侧向极限围压fl，a以实测的FRP平均断裂应变εh，frp为计算依据，其范围为0.5～43.0 MPa.

当FRP约束混凝土（素混凝土强度为fc0）达到fl，a时，其对应的抗压强度为fcp，轴向应变为εcp.通过主动约束模型求得对应相同围压水平为fl，a，素混凝土强度为fc0的轴向应力-轴向应变关系曲线，取轴向应变为εcp所对应的应力为与被动约束对应水平的抗压强度，记为fca（见图9），定义轴向应力比γ（γ＝fca／fcp）.当应力路径成立时，γ＝1.实验数据表明，γ 随着约束刚度比ρ 的增大而减小（见图10）.由于实验结果的离散性，特定约束刚度比下的数据点具有离散性.通过概率统计方法计算各约束刚度比条件下各试件的轴向应力比γ 出现的概率.将各轴向应力比与其概率的乘积求和即为该约束刚度比下的平均轴向应力比：

式中：n（ρi）为对应每个约束刚度比为ρi 的数据点个数.f［γj（ρi）］为对应约束刚度比ρi 的轴向应力比为γj（ρi）的概率.

图9 轴向应力比示意图Fig.9 Sketch of axial stress ratio

图10 轴向应力比随约束刚度比的变化趋势Fig.10 Variation trend of axial stress ratio with lateral confinement stiffness ratio

图11 平均轴向应力比与约束刚度比的关系Fig.11 Relationship between average axial stress ratio and lateral confinement stiffness ratio

由于数据点的非连续性，在计算过程中，约束刚度比ρi 单点的核算区间取为（ρi-2.5，ρi＋2.5），轴向应力比γi单点的核算区间取为（γi-0.05，γi＋0.05）.如图11所示为平均轴向应力比γa随约束刚度比ρ的变化规律.由图可知，在侧向围压相同的情况下，当达到相同轴向应变时，平均轴向应力比γa与约束刚度比r呈线性反比关系：

当ρ＝0时，a的理论值为1.由于混凝土应变软化段斜率与实验加载机制息息相关［50］，各研究者实验方法的差异会导致出现应变弱化的FRP 约束混凝土试件的应力比值的离散性较大.鉴于应变强化／软化的约束刚度比界限值ρ0＝6.4［41］，当约束刚度比为0～6.4时的变化规律仍有待研究.由回归公式（24）知，当约束刚度比为14.6～63.4时，平均轴向应力比值为0.9～1.1，即应力比偏差小于10%.当约束刚度比低于14.6时，分析型模型会高估实验结果；当约束刚度比大于63.4时，主动约束下混凝土的轴向应力fca大于被动约束下混凝土的轴向应力fcp.

应力路径相关性显现的混凝土宏观特性可归结于内部细微观的变化-内部微裂缝的形成与发展.当荷载较小时，损伤基本可以忽略不计；只有当应变大于临界应变时，损伤才开始发展，即混凝土的变形与损伤程度有一定相关性.施加侧压力约束了混凝土的侧向膨胀，从而约束了混凝土内部微裂缝数量和宽度的发展.随着侧向压力的增大，混凝土开始损伤的临界应变会增大［51］，因此，围压大小及围压增长率是混凝土内部损伤的主要影响因素.

选取3 个不同约束刚度比（ρ＝9.51、21.46、129.76）的FRP约束混凝土试件［28-29］以及3个受不同等围压（fl，a＝4 MPa、8 MPa、12 MPa）混凝土试件［52］，比较2种约束机制下，混凝土的体积应变εv-轴向应变εc曲线（见图12）.不同约束刚度比对应的FRP约束混凝土轴向应力-应变全曲线与分析型模型的计算全曲线对比结果如图13所示.主动约束混凝土的各级侧向约束力数值（单位：MPa）在图13右侧标出.

在主动约束的情况下，混凝土从加载初期就受到一定强度的围压约束，而被动约束下的侧向压力从零开始逐渐增长.在加载过程中，主动约束下提供的侧向约束力大于被动约束，使混凝土处于更有效的三向约束中.混凝土的体积膨胀被大大抑制且处于体积压缩状态，这控制了微裂缝的展开，限制了混凝土损伤率的增长，提高了混凝土的抗压能力.在被动约束过程中，在达到相同的围压水平之前，混凝土仍然呈现有效显著的体积膨胀（见图12）.因此，在轴向应变相同的情况下，主动约束下的混凝土应力较高，刚度更大，由此产生的差异在小约束刚度比中比较明显（见图13（a））.

图12 FRP约束与主动约束混凝土体积应变-轴向应变曲线对比Fig.12 Comparison of volumetric strain-axial strain curves of FRP-confined and actively confined concrete

由图12可以看出，随着恒定围压的变化，侧向变形在约束后期由体积压缩变为体积膨胀，混凝土的内部裂纹快速发展，膨胀率呈增长趋势；FRP 约束的混凝土在约束刚度比适中的情况下，侧向膨胀性能与恒定围压下的混凝土相似，在变形后期由体积压缩变为体积膨胀.此时，主动约束混凝土与被动约束混凝土的轴向应力-轴向应变曲线极为接近（见图13（b））.当约束刚度比增大时，恒定围压和被动围压对混凝土膨胀的约束作用都有明显的加强（见图12）.由于在被动约束中混凝土侧向膨胀与侧向围压具有相互耦合作用，体积膨胀得到越有效的抑制，混凝土的体积变形逐渐由体积膨胀向体积压缩发展，其内部裂纹的发展速率变小，混凝土内部损伤速率减慢.在主动约束中的混凝土围压增长率不变，且在约束后期，随着混凝土由体积压缩变为体积膨胀，混凝土损伤率迅速提高.因此，对于大约束刚度比的试件，在约束后期分析型模型的计算结果会低估FRP约束混凝土的强度（见图13（c））.

4 结 论

FRP约束混凝土的应力-应变模型是结构分析的重要组成部分.现有的2种模型-设计型与分析型模型-各自的特点及其使用局限性原因总结如下.

图13 不同约束刚度比的FRP 约束混凝土分析型模型与实验结果比较Fig.13 Comparison of analysis-oriented model and experimental results of FRP-confined concrete with different lateral confinement stiffness ratios

（1）设计型模型通过对实验数据的回归分析给出数学公式显式表达轴向应力-应变关系，主要分为应变强化型、应变软化型模型与统一模型.

（2）分析型模型基于混凝土的轴向应力-应变关系与应力路径无关的假设，通过增量法获取轴向应力-应变关系.

（3）围压比的不确定性影响分析型模型适用性的关键因素.设计型模型中以围压比作为控制区分应变强化／软化，计算应力应变极限点及转折点的主要决定因子.由于施工工艺、产品材料以及测量方法的差异，引起模型中围压比数值的不确定性，设计型模型的适用性具有局限性.引入围压比的不确定性分析将有助于改善设计型模型适用性.

（4）混凝土强度的应力路径相关性是影响分析型模型适用性的关键因素.通过数据分析表明，主动约束与被动约束达到相同围压水平时，混凝土应力比恒不为1，该应力比随着约束刚度比的增大而减小.考虑计算值与实验值10%的偏差允许度，当约束刚度比小于14.6时，分析型模型的计算结果将高估被动约束的实验结果；当约束刚度比大于63.4时，其计算结果将低估被动约束的实验结果.因此，在现有的分析型模型中考虑应力路径相关性引起的应力差是扩大该类模型适用性范围的关键.在低约束水平及高约束水平下，如何修正分析型模型，建立考虑应力路径相关性的分析型模型亟需后续进一步展开研究.

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