几何的微分方法几何三部曲

Francis+Borceux

本书呈现了平面和三维空间中曲线的经典理论，以及三维空间中曲面的经典理论，特别关注于奠定现代几何学的理论和方法的历史发展过程。对平面曲线及其性质和代数拓扑进行了全面而细致的论述，为本科生深入理解几何学提供了必要的知识。

全书共分7章：1.微分方法的起源，主要内容有曲线的静态方法、曲线的动态方法、奇异性、曲线的切线、微分方法、曲线求长（Rectification）、曲率和正规性、曲线包络、曲率、曲率半径和非对称曲线；2.平面曲线，主要内容有参数化表示、正则化表示、曲线的笛卡尔方程、渐近线、包络线、弧长、正规表示、曲率、密切圆、渐屈线、渐开线、闭曲线、分段正则曲线、凸曲线和平面曲线顶点；3.曲线类型，主要内容有圆、椭圆、双曲线、抛物线、摆线、肾形线、星形线、三角线、帕斯卡蚶线、贝努利双纽线、Nicomedes蚌线、蔓叶线、正环索线、曳物线、悬链线、阿基米德螺线、对数螺线和螺旋角线；4.非对称曲线，主要内容有正规非对称曲线、正规表述、曲率、Frenet三面体、扭转和本征方程；5.局部曲面理论，主要内容有曲面的参数化表示、正则曲面、笛卡尔方程、曲面中的曲线、切平面、切向量、曲面方向、正规曲率、法曲率、脐点、主方向、二次曲面逼近、Rodrigues公式、全曲率的高斯逼近和高斯曲率；6.黎曼几何，主要内容有度量张量、黎曼斑曲线、曲线的法向量域、Christoffel记号、共变导数、平行移动、测地曲率、测地学、黎曼张量、测地坐标系、测地坐标系下的曲率、庞加莱半平面、可嵌入黎曼斑和黎曼曲面；7.整体曲面理论，主要内容有回转曲面、直纹面、零曲率曲面、可展曲面及其分类、常数曲率曲面、球面、反例、旋转数、多边形域、多边形分解、Gauss-Bonnet定理、测地三角形和Euler-Poincaré特征；最后给出的是两个附录，附录A拓扑，主要内容有实空间中的开集、实空间中的闭集、实空间中的紧子集、实空间上的连续映射、拓扑空间、闭与稠密性、紧致性、连续映射、同胚和连通性；附录B 微分方程，主要内容有一阶微分方程、二阶微分方程、初始条件和偏微分方程组。

本书介绍了几何的微分方法，完整地给出了经典微分几何和黎曼几何的研究内容，是研究几何学的本科生和低年级研究生的指导性读物。适合从事微分几何、代数几何、微分方程和相关领域的本科生、研究生和科研人员阅读和参考。

朱永贵，博士，教授

（中国传媒大学理学院）