巧求平面直角坐标系等腰三角形的第三个顶点

王君梅

已知平面直角坐标系中的两点，在平面上找出符合某些条件的另一个点，使得以这三点为顶点的三角形为等腰三角形.在中考中常作为选择题、填空题或解答题的压轴题.由于第三点的图形未知，一些同学感到难以下手，还有一些同学能做到答案，不过答案不完整，究其原因，实质是未能掌握解决问题的一般方法，从而出现错解与漏解.其实，在解这类题目时，关键是要分情况讨论已知线段可能是所求等腰三角形的底也可能是它的腰.为了帮助学生掌握这一题型的特征和解法，本文筛选了几道例题（或其变式题），对其类型与解法予以剖析，供参考.

例1：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A（1，1），在x轴上确定一点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P共有（ ）

A.4个 B.3个 C.2个 D.1个

分析：此题应该分情况讨论.以OA为腰或底分别讨论.

解答：（1）若AO作为腰时，有两种情况，

①当A是顶角顶点时，P是以A为圆心，以OA为半径的圆与x轴的交点，共有1个，若OA是底边时，P是OA的中垂线与x轴的交点，有1个

②当O是顶角顶点时，P是以O为圆心，以OA为半径的圆与x轴的交点，有1个；

（2）若OA是底边时，P是OA的中垂线与x轴的交点，有1个.

以上4个交点没有重合的.故符合条件的点有4个.

故选：A.

点评：此题主要考查了坐标与图形的性质及等腰三角形的判定；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论.

变式1：本题若在x轴上确定一点P改成在y轴上确定一点P ， 符合条件的点P共有几个？……