非牛顿流体层流微分黏度函数

刘 涛,刘日成,吕显瑞,静 宇

(1.中国石油大学(北京)地球物理与信息工程学院,北京 102249；2.东北石油大学 数学与统计学院,黑龙江 大庆 163318；3.吉林大学 数学学院,长春 130012；4.东北石油大学 石油工程学院,黑龙江 大庆 163318)



研究简报

非牛顿流体层流微分黏度函数

刘 涛1,刘日成2,吕显瑞3,静 宇4

(1.中国石油大学(北京)地球物理与信息工程学院,北京 102249；2.东北石油大学 数学与统计学院,黑龙江 大庆 163318；3.吉林大学 数学学院,长春 130012；4.东北石油大学 石油工程学院,黑龙江 大庆 163318)

为避开用流体力学中的平均值方法求解微分黏度函数时遇到的奇异问题,基于复合函数链式规则简化非牛顿流体的微分黏度函数,并在此基础上建立微分黏度的3种近似式,针对不同近似式的精确性进行分析和比较,明确了近似式的最佳适用范围.

链式规则；幂律流体；微分黏度；近似式

文献[1-2]研究表明,当随钻测量仪(MWD)系统中的钻井液脉冲信号传输时,井眼内钻井液的流动状态为非稳定的瞬变流,该瞬变过程服从水击现象的基本原理.对于牛顿流体水击问题,目前已形成了较完备的理论体系.但石油工程中常用的钻井液是由液相、固相及少量气相组成的浆体,属于纯黏性无弹性的非牛顿流体[3].对非牛顿流体水击问题的研究,一般借助牛顿流体一维不稳定流动的数学模型,而基于非牛顿流体流变模式建立的水击理论目前报道较少[4].

文献[5]研究表明,要建立严格的非牛顿流体水击方程的解析解非常复杂.以幂律流体为例,其微分黏度函数是非线性函数,如果不采用幂律流体微分黏度的近似表达式,则可能无法用解析方法研究幂律流体的瞬变流问题.但文献[5]只给了微分黏度的一种近似式.本文在文献[5]的基础上,研究非牛顿流体微分黏度近似表达式的多种求法,并对近似式的精确性进行比较分析,明确微分黏度近似式的最佳适用范围.本文虽以幂律流体为例讨论问题,但这种分析方法对其他类型的非牛顿流体问题同样适用,具有一般性.

1 微分黏度的精确表达式

文献[6]研究表明,当幂律流体在圆管内做层流运动时,其相关参数的分布规律为:

(1)

(2)

(3)

(4)

其中:u表示速度；n表示流性指数；K表示稠度系数；(Δp)/L表示压力梯度；R表示圆管半径；r表示圆管的径向距离；V表示平均速度；D表示圆管直径.进一步可得

(5)

(6)

(7)

a.n=0.1;b.n=0.2;c.n=0.3;d.n=0.4;e.n=0.5;f.n=0.6;g.n=0.7;h.n=0.8;i.n=0.9;j.n=1.0.

其中：-δ=du/dr表示流体层间的速度梯度；δw=-(du/dr)|r=R表示管壁处的速度梯度；x=r/R.对于幂律流体,若用τ表示流体层间的剪切应力,则有τ=K(-du/dr)n.

微分黏度定义[7]为ηd=dτ/dδ.根据该定义并联立上述各式,可得圆管内幂律流体层流微分黏度的精确表达式为

(8)

若用ηdw表示管壁处的微分黏度,则由式(8)可得

(9)

(10)

(11)

式(11)表明,ξ或ηd是流性指数n和空间变量x的函数,当流性指数n取不同值时,ξ=ξ(x)的函数图像如图1所示.由图1可见,当n值充分大(一般认为n>0.4)时,除坐标原点附近外,ξ或ηd主要受流体性能参数n的影响.

2 速度梯度函数的近似表达式

根据微分黏度的定义式

(12)

(13)

(14)

由式(14)易见,此时n=1/3是奇点,所以为避开奇异问题,应寻求dτ/dδ的其他近似形式.因为在dτ/dδ中,dτ/dr是常数,与空间坐标无关,所以只要寻求函数dδ/dr的有效近似方法便可求得较佳的dτ/dδ近似表达式.

2.1 dδ/dr的近似式 按流体力学中的平均值方法处理dδ/dr,可得dδ/dr的近似式:

(15)

令y=δ/δw,仍取x=r/R,可得dy/dx=2/(n+1),进一步得y=2/(n+1)x+C.

根据文献[6]可得图2,其中:曲线为精确曲线;折线OAB表示用直线Ⅰ和Ⅱ对真实分布曲线进行逼近.由图2可得:C=(n-1)/(n+1),x0=(1-n)/2.因此可得速度梯度函数(7)的第一种近似形式,即直线Ⅰ的表达式为

(16)

直线Ⅰ的另一种表达式求法如下：设

(17)

(18)

图2 dδ/dr与r/R之间的函数关系Fig.2 Function relation between dδ/dr and r/R

由式(18)知x0=(k-1)/k,所以S2=1/(2k).因为直线Ⅰ应尽量逼近精确曲线,所以可令S1=S2,从而可得k=(n+1)/(2n).又因为k为直线的斜率,所以速度梯度函数(7)的第二种近似形式,即式(17)为

(19)

(20)

下面将式(16)、式(19)与精确表达式进行比较.当n不取小值时(n≥0.6)比较结果如图3所示.由图3可见:当n≥0.6时,除圆管轴心处外,y或δ的近似式与精确式符合良好,可以用y或δ的近似式代替其精确式,误差不超过5%;式(19)比式(16)精确性高；n值越接近1,近似式的精确性越高.

2.2 分段逼近表达式 分段逼近是指用如图2所示的折线OAB近似表示精确曲线.为简便,本文折线由图2中直线Ⅰ和直线Ⅱ上相应的线段组成,并且直线Ⅰ的表达式为(19).

(21)

(22)

从而可得

(23)

(24)

联立式(19)和式(22)可得分段逼近表达式,其为速度梯度函数(7)的第三种近似形式.将r限定在不同范围内,可得dδ/dr的第三种近似式,即联立式(23)和式(24).图4给出了分段逼近式与精确表达式的计算结果.由图4可见,用折线OAB逼近真实曲线效果更好.

图3 n取不同值时y或δ的近似式与精确式对比Fig.3 Comparison between the approximation formula and accurate formula of y or δ at different values of n

图4 n取不同值时用折线逼近精确曲线的结果Fig.4 Results of the broken line approached to precise curve at different values of n

3 微分黏度的近似表达式及比较分析

联立式(12),(15),(20),(23),(24),可得如下圆管内幂律流体微分黏度的近似表达式：

近似式Ⅰ:

(25)

(26)

近似式Ⅱ:

(27)

(28)

近似式Ⅲ:

(29)

(30)

近似式(25)～(30)与精确式(8),(11)计算结果的对比如图5～图7所示,图中虚线为式(26)或式(25)结果,点线为式(28)或式(27)结果,折线为式(30)或式(29)结果,实线为精确式(8)或式(11)的计算结果.由图5～图7可见,各近似式的精确性为：近似式Ⅲ优于近似式Ⅱ,近似式Ⅱ优于近似式Ⅰ.当n充分大(n≥0.6)时,除圆管轴心外,微分黏度近似式可较好地取代精确式,平均误差小于5%.

图5 n取不同值时近似式Ⅰ与精确式的图像对比Fig.5 Comparison of the images of the approximation formula Ⅰ and the accurate formula at different values of n

由上述结果可见,幂律流变模式能较好地适应流体中、高速度梯度流动规律的描述,但不适用低速度梯度的情况.在圆管轴心处,r较小时,δ较低,无论n取何值,幂律流体的微分黏度或视黏度都趋于∞,这是幂律流变模式的固有缺陷[8].本文提出的近似式在圆管轴心处与精确式间的误差在某种程度上对精确式可能具有一定的修正作用.

图6 n取不同值时近似式Ⅱ与精确式的图像对比Fig.6 Comparison of the images of the approximation formula Ⅱ and the accurate formula at different values of n

图7 n取不同值时近似式Ⅲ与精确式的图像对比Fig.7 Comparison of the images of the approximation formula Ⅲ and the accurate formula at different values of n

4 结 论

1)微分黏度ηd是流性指数n和空间变量x的函数,一般地,当n>0.4(特别当n≥0.6)时,除坐标原点附近外,ηd主要受流体性能参数n的影响,与空间变量x无关；

2)本文给出了速度梯度函数的3种近似形式,并在此基础上给出了微分黏度的3种近似表达式；

3)当n≥0.6时,除圆管轴心处外,速度梯度δ的近似式与精确式符合良好,可用δ的近似式代替其精确式,相对误差不超过5%;精确性的比较结果为：分段逼近表达式(即式(22)和式(19)组合)优于式(19),式(19)优于式(16)；

4)通过微分黏度近似式与精确式的计算及比较分析表明,当n≥0.6时,除圆管轴心处外,微分黏度近似式可以取代精确式,相对误差小于5%;精确性是:近似式Ⅲ优于近似式Ⅱ,近似式Ⅱ优于近似式Ⅰ.

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(责任编辑：赵立芹)

DifferentialViscosityFunctionofLaminarFlowofNon-NewtonianFluidinPipes

LIU Tao1,LIU Richeng2,LÜ Xianrui3,JING Yu4

(1.CollegeofGeophysicsandInformationEngineering,ChinaUniversityofPetroleum(Beijing),Beijing102249,China；2.SchoolofMathematicsandStatistics,NortheastPetroleumUniversity,Daqing163318,HeilongjiangProvince,China；3.CollegeofMathematics,JilinUniversity,Changchun130012,China；4.SchoolofPetroleumEngineering,NortheastPetroleumUniversity,Daqing163318,HeilongjiangProvince,China)

Based on the chain rule of composite function,the differential viscosity function of non-Newtonian fluid was simplified so that the problem of singularity is avoided,which is encountered in solving the differential viscosity function by the average value method commonly used in fluid mechanics.Then three approximation formula of the differential viscosity were established,the precision of the approximations was analyzed and compared,and the optimal scopes of application of the approximations were given.

chain rule；power law fluid；differential viscosity；approximation formula

10.13413/j.cnki.jdxblxb.2015.03.24

2014-09-24.

刘 涛(1984—),女,汉族,博士,讲师,从事测井工程数值分析与仿真的研究,E-mail：liutao_chn@126.com.通信作者：刘日成(1975—),男,汉族,博士研究生,副教授,从事工程数学方法的研究,E-mail：richengliu@sina.com.

吉林省自然科学基金(批准号：201215038).

O357

：A

：1671-5489(2015)03-0471-07