饱和非饱和渗流基本微分方程的推导

□杨 昱（郑州市水利建筑勘测设计院）

0 引言

水在岩土体中沿着空隙流动的现象称之为渗流，按照水在岩土体中的流动方式，渗流可以分为饱和流与非饱和流两种类型。饱和渗流是指，水在岩土体流动过程中，任意一点的水头及渗透系数不随时间的改变。非饱和渗流是指，水在岩土体流动过程中，任意一点的运动要素随时间而改变[1]。岩土体饱和-非饱和渗流的基本微分方程是解决岩土体渗流问题的理论基础及计算依据。

达西定律是岩土体渗流理论的基础，质量守恒定律及能量守能定律是一切流体运动普遍遵循的基本定律。文章首先从理论上推导了达西定律，然后根据质量守恒定律推导了连续性方程，以二者为基础推导岩土体饱和渗流的基本微分方程，根据能量守恒定律推导了非饱和渗流的基本微分方程。

1 达西定律

达西定律是渗流理论的基本定律，最早通过实验证实，它也可以从多孔介质中层流运动所遇到的阻力关系推导出来[2]。图1为沿流线方向s 取得单元微分体,长为ds,断面积为dA;作用在单元柱体上的力有:两端的孔隙水压力,孔隙水流的自重及水流受到颗粒孔隙道的摩阻力F。

图1 渗透水体的受力图

沿土柱方向列出渗流的受力方程(略去水流的惯性力)：

将其代入（1）式，有：

根据斯托克斯阻力公式，单个土体颗粒所受阻力为：

式中，d 为土体颗粒直径，v'为颗粒周围沿渗流方向的局部平均流速；μ；λ 为一个系数，取决于临近颗粒的影响，对于无限水体中的圆球，λ=3π。……