创意平板折叠桌的模型分析与优化设计

吴　婧　（西京学院，陕西　西安　710123）

创意平板折叠桌的模型分析与优化设计

吴婧
（西京学院，陕西西安710123）

本文对创意平板折叠桌的设计问题，应用木结构截面设计原则，通过建立桌面半径、桌面长度、钢筋位置相应的数学模型，描述了折叠桌的动态变化过程。同时对折叠桌的设计加工参数（桌腿木条开槽的长度）和桌脚边缘线进行了数学描述。最后给出了合理的平板折叠桌设计参数。

桌面半径；桌面长度；钢筋位置；插值拟合

1　引言

创意平板折叠桌不但轻巧方便，而且美观大方。创意平板折叠桌更注重于表达木质品的优雅和设计师所想要强调的自动化与功能性。这种可折叠的桌子，桌面呈圆形，桌腿由若干根木条组成，分成两组，分别用两根钢筋贯穿两侧的木条，钢筋两端分别固定在桌腿各组最外侧的两根木条上，并且沿木条有空槽以保证滑动的自由度。使两者只需提起木板的两侧，便可以在重力的作用下达到自动升起的效果，桌子外形由直纹曲面构成，造型美观，相互对称的木条宛如下垂的桌布。在设计折叠桌时如何确定其所需木板的最优尺寸，钢筋的位置和每根桌腿的开槽长度格外重要。

本文对一长方形平板：长为120cm，宽为50cm，厚度为3cm，每根木条的宽为2.5cm，折叠后桌子的高度为53cm，且连接桌腿木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置。确定了其所需木板的最优尺寸，钢筋的位置和每根桌腿的开槽长度；对桌脚边缘线进行数学描述，同时描述了折叠桌的动态变化过程。

表1　各条桌腿的槽口长度

2　问题分析

在研究折叠桌确切圆的半径时，我们假设两种情况，即圆与已知平板内切和圆与已知平板近似外接，但这两种情况圆的半径均不符合已知设计要求，通过建立合适的方程，我们在圆环的内侧寻找到最佳的半径变化范围，并在合理范围内选合适半径。利用割线位置的变化依次对圆进行割取，分别得到割线确切长度，因此求得每根桌腿木条的长度，通过钢筋在不同状态下在卡槽内的位置不同以确定卡槽的长度。对于桌边缘线的描绘我们以最外侧桌腿木条中点（钢筋点位置）为坐标原点建立坐标系，并确定钢筋穿过位置的坐标点和桌腿顶端坐标点，通过各个桌腿与各坐标轴的方向夹角确定了各个桌腿的方程，经计算得出桌腿下端点坐标，最终确定桌脚边缘曲线。

本文所涉及到的符号作如下说明：x为一半的割线长度，z为半径的变化范围，M为内力弯矩，l为长板总长，d为圆木压弯构件的截面，λ为构件柔度，为欧拉荷载。

3　模型建立与求解

3.1桌面半径的确定

假设圆内切于长方形平板和外接于长方形平板，但这两种假设条件下计算结果无法满足桌子的高度，割线长度大小影响已知桌腿长度。假设模型如图1所示。

而在圆环范围内存在我们想要的理想半径，因此我们在圆环范围内寻找最佳的且最合适的圆半径的变化范围，并且建立恰当的计算公式：0.5（120-2x）＞50，x2/z+z=50+2z。整理得到：

z2+50z-100=0（1）

计算得到：z∈（0，1.9258）。因此合理的圆的半径如图2虚线圆所示，且割线长度可在x范围内适当变化。

当我们得到合理圆盘直径时，将圆盘依次进行割取得到相应的割线长度2x，然后分别求出各桌腿长度。桌腿摆动的角度影响着桌腿木条开槽长度和桌脚边缘线。

3.2桌腿长度和钢筋位置的计算

我们利用已知第一根桌腿长度与第一个余端长度以及夹角，运用三者间存在的余弦定理，得到第二根桌腿顶端到卡槽底端长度，并求出第二根桌腿顶端到卡槽底端长度与第一个余端长度之间的夹角，即可依次求得各桌腿顶端到卡槽底端长度

其中ai为第i个桌腿顶端到卡槽底端长度（i=1，2，…，21），bj为第j根桌腿腿长（j=1，2，…，21）

cω为第ω个余端长度（ω=1，2，…，20）。当平板长方形处于原始状态时，钢筋处于卡槽的最高处。当折叠成工作状态时，钢筋处于卡槽的最低处（不考虑钢筋与卡槽间扭矩力），将两者做差值，我们便得到各个腿长合理的卡槽长度。卡槽长度见表1。

3.3桌腿底端边缘方程建立

对于桌脚边缘线的描绘我们以最外侧桌腿木条中点（钢筋点位置）为坐标原点建立坐标系0xyz，坐标系如图3所示。

利用已知参数求得每根木条钢筋位置的坐标点，以及桌腿木条顶端端点坐标点。将两坐标点对应作差求出向量，利用各方向余弦夹角与向量的模确定该向量的空间位置。方向余弦公式如下：

用各桌腿的方程和已知数据确定了各桌腿空间位置方程，运用插值拟合算法得到了工作时桌子腿面的三维曲面图。

设该桌腿边缘位置方程为：

插值拟合计算出桌脚边缘位置方程的系数a=4.53，b=-0.27，c=-12；方程次数为n1=1，n2=2，n3=1。

最后由各个桌腿的方程求得的坐标点确定了桌脚边缘曲线。边缘曲线如图5所示。

3.4桌脚边缘曲线连续变化

我们通过不同角度下计算得到桌角位置数据，得到桌脚边缘曲线连续变化三维曲面图6。利用桌角位置数据，我们拟合得到桌脚边缘曲线连续变化的曲面方程如下：

结语

本文建立了每条桌子腿的空间曲线方程，求得桌腿边缘坐标，通过插值拟合到了空间方程，确定了其所需长方形平板材料的大小和折叠桌的最优设计加工参数。本文设计的产品稳固性好、加工方便、用材最少。

[1]韩佳成，RobertVanEmbricqs.平板折叠边桌[J].设计，2012（08）：23-24.

[2]陈载赋.建筑结构设计手册[M].成都：四川科学技术出版社，1994.

[3]任治章，王洪杰.确定木结构压弯构件最佳截面尺寸的简便方法[J].吉林建筑工程学院学报，2002，19（01）：18-19.

基金项目：本文得到国家自然科学基金（61473237），西京学院科研基金项目（XJ130245，XJ130244，XJ140116）的资助。

O221.2

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