返璞归真 正本清源

张奠宙

杭州师大戎松魁先生来信，邀我看一下小学数学教材中“比”的定义和例题。信中写道：

在人教版小学实验教科书《数学》六年级上册第43页上，以我国“神舟五号”顺利升空为载体，对“比”和“比值”的意义作了这样的描述：“两个数相除又叫作两个数的比”“比的前项除以后项所得的商叫作比值”“比值通常用分数表示，也可以用小数或整数表示。”在2014年7月出版的人教版义务教育教科书《数学》六年级上册第48页上引进“比”和“比值”的概念时，内容基本不变，就是把“两个数相除又叫作两个数的比”这句话改为了“两个数的比表示两个数相除”。而在与课本配套的《教师教学用书》第86页上指出：“教师还可以指出，两个同类量的比表示这两个量之间的倍数关系，两个不同类量的比可以表示一个新的量。如‘路程比时间’又表示速度。”

实验教科书和2014版教科书引进“比”的例子相同，其一都是用航天员展示的国旗长15厘米，宽10厘米，长和宽的比是15比10，可记作15∶10，15∶10=15÷10=，就是比值。其二是“神舟五号”平均90分钟绕地球一周，大约运行42252km，指出“路程和时间的比是42252比90”。

根据教科书的例题看，比值是不带计量单位名称的，这里路程和时间的比值应该是42252÷90=（或469.46）。

从教科书和配套的《教师教学用书》引出值得我们思考的几个问题。

1.在小学数学教学中应该怎样引出“比”和“比值”的概念？“比”究竟是“两个数的比”还是“两个量的比”，或者两者都可以？

2.“神舟五号”绕地球一周运行的路程和时间的比是42252比90，那么根据教材中“比值”的定义，它们的比值应该是42252÷90=（或469.46）。而根据《教师教学用书》所言，“两个不同类量的比可以表示一个新的量”。那么该例中比值要不要写成千米/分？能不能写成千米/分？

3. 在小学数学教材中是否有必要引进不同类量的 “比”和“比值”的概念？

信中提到的把“比”等同于除法的信息，令人惊讶。恰巧接信不久，又蒙某教材编辑寄来2014年修改的教材一套。于是连同网上下载的旧版，看到了“比的认识”一节的修改过程。

图1

图2

某教材的较早版本在编排“比的认识”一课时，曾用获胜场次的多少加以比较（图2）。显然这不属于“比”的例子。原以为编者想用此例区别一般的排名和“比”的概念有别，可是教材未置一词（新版则删去了，颇为可惜）。接着就是路程除以时间得速度，总价除以数量得单价的不同类量的相除。这本来是一类标准的除法题目，教材却不加说明地拿来当作“比”的概念的引例。那么有了除法为什么还要引进“比”？没有任何解释。在随后的两页中，倒是研究了同类量之比，矩形的放大与缩小，树和影子的长度。尤其是甘蔗汁和水的配比，极具“比”的意义。但是教材却偏偏不说这些例子和“比”有什么关系。这样一来，教材就成了让人费猜的谜语。

新版教材使用照片长、宽比值不同而引起人像变形的童趣例子，这本来可以引向比的意义。可是教材却突然说“两个数相除，又叫作两个数的比”。（图1）

阅读之后，不觉陷入沉思。

随手打开《辞海》，看到“比”的条目这样写着：

“比较两个同类量的关系时，如果以 b为单位来度量a，称为a比b，所得的k值称为比值”。

这大概是“比”的老式定义。新潮的小学数学教材已经将之废除，直接把两数之“比”说成就是两数相除了。其目的不过是要学生记住：比只是除法的另一种说法而已，并没有新的内容。这样的“改革”，究竟是进步，还是倒退？没头没脑地将除法说成就是比，把“比”当作除法的附庸，该如何落实知识发生的过程性目标？既然要贯彻“四基”，那么“比”的基本数学思想方法何在？返璞归真，正本清源，是数学教学的一项基本原理。稍微想想就可以知道，《辞海》的定义重在揭示“比和比值”概念的内涵，而新潮教材则回避了“比”的本质，仅仅是描述了“比”的外壳而已。

让我们作进一步的分析。

顾名思义，学生看到“比”，第一个联想到的词就是“比较”。《辞海》释义中，首先提到的也是“比较”两字。对六年级的学生而言，关于如何比较两个量的大小，已经学过两种方法。

第一种方法是比较两数的差距关系。如果a比b大，用减法就可以知道差距是a – b。在日常语境中我们常说：

（1）小明“比”小华高2厘米;

（2）甲、乙两队篮球比赛的结果是100 比99，乙队以一分之差输了;

（3）中国乒乓球队以3比0 完胜对手。

（4）比较胜利场次排名次。

这里都用到“比”这个词。但只是比较差距，而差距用减法可求得。这是a与b之间的“差关系”。

第二种方法是比较两数之间的倍数关系。对a，b两正数，若a>b， 那么a÷b = k >1; 如果a

（1）姚明“比”我高，他的身高是我身高的1.5倍;

（2）我比小胖的体重轻，我的体重只是他的0.8倍。

这就是说，“比”这一概念的本源是“比较”。用倍数比较大小，表明a与b之间存在着“比关系”。本单元要学习的就是这第二种方法的比较。

现在，我们可以给“比”下一个比较合理的定义了。

“两个量a，b，如果以b为单位去衡量a，称a和b之间有关系a比b，记作a∶b。 a÷b = k 称为比值”。

通过以下的例子，可以不断强化“比”的本源意义。

例1.做面包时，用三杯面粉加一杯水。面粉体积和水体积是3比1，记作3∶1。比值是 3÷1=3。

例2.用1杯纯甘蔗汁加5杯水兑成甘蔗饮料。甘蔗汁和水的数量是1比5，记作1∶5。比值是 1÷5=。

例3.在某时刻，以树影子长度衡量树的高度，形成2比1的关系，记为2∶1.比值是 2÷1 = 2。（如图3）

图3

例4. 一个矩形的长度a 和宽度b，形成a比b的关系。如果比值a÷b=k >1， 那么矩形是扁平状的。如果 k< 1，则矩形是竖条状的，若k=1，矩形是正方形。（如图4所示放置）

图4

对于上述“比”的定义，我们再作一些进一步的解释。

（一） “比”是一种数量关系。“比”不是除法运算，只是在求比值时才要用除法

“比”在《辞海》定义中明确提到a与b之间是一种关系。“维珍百科”里，对英文ratio的解释中，也说“比”是一种关系（relationship）。实际上，“比”有时候只是描述了两个量之间的一种状态，一种对比。说两个同类量a与b 之间存在着比的关系，可以先求出比值，也可以不必求比值。如例1中，做面包时3杯面粉要用1杯水调和，我们就直接说面粉与水的用量是“3比1”，写成3 ∶1。现实中直接照此操作就是了，并非一定要先用除法去计算其比值为3之后再来说二者之比。

换句话说，比，只是在求比值时才是除法。3∶2 可以只是一种状态，3÷2 则是一种运算，二者在意义上不一样。

（二） “比”是为比例做准备，并可以扩展为一种变量之间的正比例函数关系。这种比例关系，其含义远超“除法”

例如，某教材中树高和它影子的关系，就可以看作是一个正比例的函数关系。事实上，在固定的时刻，树高x决定了影子的长度y; 不同高度的树，其影子长度都是树高的k倍，形成 y = kx 的函数关系。这就是说，小学里“比”的学习，不等于重学一遍除法。比的概念，还要进一步发展为四个量的比例关系，并为将来学习正比例函数做准备。这种函数对应思想，较之除法的意蕴要深刻得多。

当然，并非所有的“比关系”都可以扩展为函数关系。例如本班的男生数和女生数恰好相等，形成1比1的关系。但是，别的班级未必如此，我们不能说任何班级的男生和女生的人数都相等。

（三）“比”原本是同类量的比较关系，但是也可以推广到不是“同类量”的情形。不过，同类量之比是“源”，不同类量之比只是“流”

《辞海》定义规定，只有同类量才能作“比”。我们在上述定义中，没有这样限制。事实上，日常生活里有许多对“非同类量”进行比较的事例。例如，为了鼓励回收易拉罐，规定10只易拉罐，可以换100克糖果。易拉罐的个数，与糖果的重量，不是同类量，但我们也会说，易拉罐和糖果之比是10个∶100克。又如我们看到一则广告说，买某牌子牙膏3支，奉送牙刷2把。“牙膏支数”和“牙刷把数”不是同类量，但也会说购买的牙膏数与赠送的牙刷数是3比2。

由于不同类量之间，不能说“倍数”，所以这个定义里只用了“以b为单位去衡量a”的说法。

但是，比的概念的源头毕竟是同类量的比较。不同类量的比乃是流，是派生、引申出来的。区别源流，分清主次，是概念教学的要义。在倡导“过程性”教学目标的今天，更显示出正本清源的重要性。

（四） 不同类量的比，不宜作为“比”的主要情景引入

我们注意到，人教社的教材中，引出“比”的主要例子之一是一个不同类量之比：

“神舟五号”平均90分钟绕地球一周，大约运行42252km。于是指出“路程和时间的比是42252比90”。

这样做，未免失当。如上所述，“比”的本质是“比较”关系，一个除法问题难以覆盖“比”的内在含义。路程除以时间等于速度，明明是一个计算运转速度的除法问题，并没有比较路程与时间大小的含义在内。用不同类量作为主要引例，颠倒了源流关系，增加了学生的理解困难。此外，对于比的理解，先要从两个简单的整数之比说起。例如面粉和水之比为3比1之类。现在一下子出现42252这样大的一个数，分散了学生对“比”的意义的注意力。

至于某教材里问“哪种苹果最便宜”的例子，给出了三种总价和数量，然后计算三种单价，再比较这些单价得出“最便宜”的答案（这里的比较和“比”无关，学生容易混淆）。编者的意图是要学生说出单价是总价与数量之比。但是这明明就是一个典型的除法情景，日常生活中总是说“总价除以数量为单价”。这里生硬地把除法说成是“比”，对学生理解“比”的概念不但没有益处，反而会产生干扰。

（五）同类量的比值没有量纲，不同类量的比值一定会有量纲

同类量之比，其比值是无量纲的。例如长度（4厘米）比宽度（2厘米），相除以后，单位（厘米）约去，比值是无量纲的数2。但是不同类量之比，比的前后项里的量纲不能约去。作为“量”而言，两个量之比一定是有量纲的。路程（米）比时间（秒）得到速度，其量纲是米/秒，不能省略。人教版说“神舟五号”绕地球一周运行的路程和时间的比是42252比90。这样，按教材中“比值”的定义就得出二者的比值是42252÷90=（或469.46），那是不正确的。有人会辩白说那只是“两个数之比”。确实，任何“数”都是无量纲的，例如，有理数是两个整数之比。但是，量和数不能混为一谈。“神舟五号”运行的距离和时间都是具体的量，具有清晰的速度量纲，不能随意抹去。

（六）把“两个数相除，又叫作两个数的比”作为“比”的定义，乃是舍本逐末

比的概念，有一个发展过程。最先是同类量的简单倍数比较，如甘蔗饮料的配比1∶5。 然后是同类量的复杂比，如树高与其影长之比，具有函数对应的背景。再次是不同类量的比较，具有量纲，如速度。最后，则是从“量”到“数”，引出两个无量纲的数的比。

这就是说，直接把“两个同类量之比”定义为“两个数相除”，就跳过了许多步骤，抽去了“比”的概念发生过程，把引申出来的最边远结论当作了概念的本源，不啻是一种本末倒置的做法。

“比值”的计算固然要用到除法，但是“比”不等于除法。比有比的意义，除法有除法的用途。如前所述，比，可以只是两个量之间的一种比较关系，一种对应，一种状态，可以不必凸显“除法”。另一方面，除法的用途很广，可以离开“比较”的本意很远。例如，假定数学和语文的成绩分别是92 和90，那么它们的平均成绩是91。这里只用除法的意义，无须想到这是两科总成绩与2之间的一种比较。

这里，我们不妨以周树人和鲁迅的关系，对“比和除法”作一个比方。周树人和鲁迅确是同一个人，但是含义不同。周树人是出生于19世纪末绍兴周家的自然人和社会人，鲁迅则是一个20世纪的文学家和思想家。周树人是本源，鲁迅是后来派生出来的。如果在解释“周树人”时只写一句“周树人即鲁迅”就算完事，岂不是以偏概全，违反常识了？

通过以上的分析，对于戎老师提出的三个问题，已经发表了我的看法。下面是关于“比的认识”一节教材若干设计建议。小学教材用上述方式定义“比”的概念，固然也是一种选择，但是也可以将同类量之比和不同类量之比分别陈述。

第一段    “比较”

给出两个量，如何比较大小？

例1.篮球赛 55比50 差距5分。排球赛 3比0。

（用加减法比较差距，以前学过）

例2.一样大小的六个红色方块，三个蓝色方块。红色方块比蓝色方块多，6是3的2倍。称为6比3，记作6∶3;蓝色方块少，只是红色方块的倍。称为3比6，记作3∶6。

（今天要学的“比”是要用除法所得倍数来比较大小或多少等，和例1不同）

例3.做米饭合理的配比是4杯米要用2杯水。我们说米和水的用量是4比2，记作4∶2。

（生活化的术语，不涉及比值与除法）

第二段    比的定义

国旗的长、宽比。

从某产品目录中看到国旗尺寸分6种规格，长与宽分别为（单位：毫米）：

1号，2880 ，1920;

2号，2400 ，1600;

3号，1920 ，1280;

4号，1440 ，960;

5号， 960， 640;

6号， 660， 440。

以宽度为单位，求出长度是宽度的几倍？这些国旗的长、宽尺寸都不相同，但每种规格的国旗长都是宽的1.5倍。 由此给出比的定义：

“两个同类量a，b，若以a是b的倍数k来比较它们的大小，称为a比b ，记为a：b。数 a÷b =k称为a与b的比值。比值k就是a除以b 的商。”

（这里先要求“同类量”， 突出“比较”的本意，陈述一种状态，但最后归结为除法。为下一步具有广泛应用的“比例”打基础，数是量的抽象表示，两个数相除称为两个数之比，是自然的结论）

第三段    比的练习

继续举例，并练习。

（1）本班男生人数和女生人数的比;

（2）糖水中糖与水重量的配比;

（3）食物的配比;

（4） 农药的配比;

（5） 树高与其影长之比;

（6）  增加同比与环比内容。某厂月生产量的同比与环比。如某校每年5月和10月，都要捐书给希望小学。今年10月同比于去年10月，环比于今年5月。

（不断强调“比”的意义，突出“除法”之外的特定内涵）

第四段    不同类量之比

“两个不同类的量a，b，虽然彼此没有倍数关系，如果以b为单位衡量a，即考察a÷b，我们也把它叫作a比b，记为a ∶b。”

（1）某商店卖牙膏规定：顾客每买三支牙膏送一把牙刷。购买商品与赠品之比为3支∶1把，比值为3支/把;

（2）路程÷时间 = 速度。我们也说速度是路程与时间之比。如刘翔打破110米栏世界纪录的速度 。

（作为小学教材，把同类量和不同类量之比分开来叙述，眉目清楚）

小学教育是基础教育，小学数学教材应有助于学生理解基本数量关系的本质。比的概念，作为小学生数学素质的重要一环，有其特定的内涵。教材设计，应该紧扣“比较”的本意加以理解和生成，力求返璞归真，正本清源，循序渐进，平易近人。

（华东师范大学数学系   200241）