一道经典证明题剖析

陈宏志

问题背景：义务教育课程标准试验教科书八年级下册复习题19最后一题，即第122页第15题.

如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角∠DCG的平分线，求证：AE=EF.

图1 图2

分析：显然AE与EF相等的数量关系，急需二者分别所在的形状——三角形之间的形状关系决定，图中AE与EF直观的三角形不能全等，因此需构造全等的三角形来证明，由条件∠AEF=90°易得∠BAE=∠FEC.由此构造EF所在的直角三角形与Rt△BAE全等的三角形，即过点F作FG上BC交BC延长线与G，由条件可知构造十分正常，如能证明Rt△PEG≌Rt△EAB，问题就能解决.图中两个直角三角形对应角相等，但在边的元素上要对应相等实属困难，看来构造与Rt△BAE全等困难.当这种构造思路出现障碍时，不得不另辟蹊径，与△ECF全等的三角形呢？要知道∠ECF=135°，为特殊角且有∠CEF=∠BAE，利用要证的AE=CH，且∠AHE=∠ECF=135°，连接EH则易证△AHE≌△ECF，此法为课本上提示之法，显然有如图2所示构造出的辅助线.

变式：如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（出B、C外）的任意一个点”，其他条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立吗？

类比在AB上截取AH=EC，连接EH证△AHE≌△ECF即可.

义务教育阶段的正方形的素材中，像这样经典题如果就满足于这样简单的研究，不是新课程标准所提倡的.由于正方形这个这个特殊的平行四边形有着美妙的性质，因此猜想，证明是否还有独到的方法呢？假如还有其他方法，如何突破？还是从最特殊的中点找感觉.

正方形的对角线性质丰富，如图3尝试连接对角线，先连AC，将AE构置于△AEC中，显然△AEC与△ECF不全等，能否构造出于△ECF全等的三角形？再尝试连接BD交AC于O，连接EO，正方形的性质展现着其威力，与△ECF全等的三角形不知不觉中构造出来，根据寻找对应元素相等的原则，于是延长PC过点E作FB⊥BC交FC的延长线与点G，即构造△EGF≌△ECA，如图4辅助线构造.从图中由大截小，大补小的感觉能否推广到一般呢？

图3 图4

连接AC，过点E作EH⊥BC交FC的延长线于G，关键是过点E作垂线，如此类比推广此题才有点新味.

还有别的途径吗？思维既兴奋又抑制，不知路在何方，此时更需回到母题，如能换视野看看，那才是真功夫.最初简单的构造没有成功，能否给我们别的方向，如把AE连接起来，此图形结构多像赵爽弦图的一部分，用“勾股定理”能证明吗？

图5 图6

过点F作FH⊥AB于H，交DC于L，设AB=2a，FL=FG=x，由∠AEF=90°，得AF■=AE■+EF■，即（2a+x）■+a■=（2a）■+a■+（a+x）■+x■ X=a，即FG=EC=BE，Rt△ABE≌Rt△EGF，即得刚才猜想的验证.这个证明方法能否推广？设AB=a，EC=x，CG=y，同理AF■=AE■+EF■，（a+y）■+（a-y）■=a■+（a-y）■+（x+y）■+y■得x（x+y-a）=0，因为x不等于0，则a=x+y，即AB=EG，故得证.

题目慢慢品，味道就出来了，完美的正方形给大家以挑战，当用智慧的双眼欣赏那美妙的风景，那种身心的愉悦爽朗无以言表.对于以正方为背景的证明，只要你牢牢抓住正方形的性质，并利用数形结合思想，大胆地尝试构造，探究更多的方法，相信定能收获智慧成果.新课程标准下，正是要求我们做好素材的整合，扮演好引导者的角色，因此，大胆预言，随着知识的加深，学生对此题的证明必会有更妙的方法.

参考文献：

[1]义务教育课程标准实验教科书及八（下）教师用书.

[2]G.波利亚.数学猜想.

[3]江苏省教育厅主办.初中数学教与学.