由一道习题所想到的

褚俊缗

摘 要： “综合法”与“分析法”是不等式证明的基本方法.在解题过程中，利用“综合法”与“分析法”的思维模式帮助分析题意，破解解题思路，能有效提高解题能力，也为教师强化课堂教学效果，提高教学能力提供了方向.

关键词： 综合法 分析法 解题思维

一、问题的起源

先从一道大家熟悉的习题说起.

习题：给出一个正整数n，若n是奇数，则减去1，否则除以2，这样经过若干次运算后，总是可以得到0，运算结束.若这个数经过四次运算后得到零，则这个数是？摇 ？摇.

在高三习题卷中做到这个题目，由于笔者所在中学是省重点中学，学生综合素质比较高，我本以为是一道同学们没问题的作业，无非就是“逆推而上”，但经过作业批改发现，有近一半的学生答案不全.这不得不让我沉入深思，寻找症结所在，反思自己在教学中存在的不足.

二、问题的调查

事后，我找到了几个答案不全的学生，询问他们在解题时是怎么思考的，无一例外的都是“顺推而下”.比如取n=8，经过四次运算，得到0，符合，……这时，笔者问学生甲：你当时这样做是否担心有答案遗漏呢？学生甲：有这种顾虑，但一时想不出好方法，又急于完成作业，也就没有多加思考了.为了深入了解做对同学的思维过程，我也询问了几个同学，结果，“顺推而下”得到完整答案的不乏其人.这几个学生平时学习踏踏实实，想必他们一定检验了好多数据，才放心地写下这个题目的答案，其严谨的学习态度还是值得肯定的.这时我问学生乙：如果题中运算四次改为运算六次或者七次，问符合题意的n有多少个，你该怎么做呢？这时学生乙陷入沉思，想必他一定料到再“顺推而下”，要花费的时间是成倍增加的.几分钟后，他恍然大悟：“我知道了！”从愉悦的表情中，我坚信他是“柳暗花明又一村”了.

三、问题的分析与思考

每个同学差不多都有过这样的经历：一道题，自己总也想不出解法，而老师却给出了一个绝妙的解法，这时你最希望知道的是“老师是怎么想出这个解法的”.如果这个解法不是很难，就会想“我自己完全可以想出，但为什么我没有想到呢？”

美籍匈牙利数学家乔治·波利亚对回答上述问题非常感兴趣，为了回答“一个好的解法是如何想出来的”这个令人困惑的问题，他专门研究了解题的思维过程，分解解题的思维过程“理解题目”、“拟订方案”、“执行方案”和“回顾”四大步骤，对第二步即“拟定计划”的分析是最引人入胜的.他指出寻找解法实际上就是“找出已知数与未知数之间的联系，如果找不出直接联系，你可能不得不考虑辅助问题，最终得出一个求解计划.”

本习题虽然不是什么难题，但在解题中充分体现出了寻找已知与未知之间的联系方法与思维过程.如果说学生甲等的做法相当于我们在不等式证明中的综合法的话，“逆推而上”，就是不等式证明中的分析法.事实上，我们在解题思维过程中，何尝不是“综合法”“分析法”的应用或者综合应用呢？

波利亚在“怎样解题”表中说到解题的关键是“建立已知与未知之间的联系”.笔者认为可以理解为：由“已知”推导“可知”，由“未知”探究“需知”，最后建立“可知”与“需知”的关系的思维过程.用图示表示如下：

四、解题策略与举例探讨

【例题】若非零向量■与■满足：■+3■与7■-5■垂直，■-4■与7■-2■垂直，求■与■的夹角.

分析思路及解法：设■与■的夹角为θ，未知的是cosθ，需知cosθ=■，实际上是求■·■与|■||■|的比值；已知“■+3■与7■-5■垂直，■-4■与7■-2■垂直”可知（■+3■）·（7■-5■）=0（■-4■）·（7■-2■）=0，即7■■+16■·■-15■■=07■■-30■·■+8■■=0①，如何建立①与■的关系成了解决这道题目的关键.由①式可得■■=2■·■■■=2■·■，故|■|=■■=■，所以cosθ=■=■，∵θ∈[0，π]，∴θ=■.

如果把解题比作打仗，那么解题者的“兵力”就是数学基础知识，解题者的“兵器”就是数学基本方法，而调用数学基础知识，运用数学基本方法的解题策略正是“兵法”.这就要求每一位老师在平时教学中都要重视数学中的基础知识、基本方法和基本数学思想.