明概念 思解法

赵志胜

一元二次方程是对一元一次方程的拓展延伸，在学习时要善于挖掘二者之间的概念联系和区别，在探究解法时要思考能否转化即进行降次.类比一元一次方程学习一元二次方程在本章中有一定的体现.

一.一元二次方程的概念

方程中只含有一个未知数且未知数的最高次数是二次的整式方程是一元二次方程方程。它的一般形式是：ax2+bx+c=0（a≠0 ），

期中ax2、bx、c分别叫二次项、一次项常数项，a、b分别叫二次项系数和一次项系数.

注：（1）类比一元一次方程根据定义可看出一元二次方程须同时满足三个条件：①必须是整式方程即分母中不能含有未知数，这是前提 ②只含一个未知数即一元

③未知数的最高次数为二次.

（2）a≠0是一个重要条件，也是本章学习中特别容易忽视的的地方；因为若a=0那么二次项就不存在了，方程也自然就谈不上是一元二次方程了，学习时要特别注意。

例1：已知关于x的一元二次方程：

是一元二次方程，求a的值.

【分析】根据定义只需要保证x的最高次数等于2，并且二次项前面的系数不为0即可.

【解答】由题意得：

解之得 所以a=9

【点评】这种类型的题目主要考查对定义的理解，在注意未知数最高次数为2的

同时，特别不能忽视二次项系数不能为0.

二.一元二次方程的解法

总体思路是“降次”，即将一元二次方程转化为一元一次方程再去解，那么转化的方法有哪些呢？如何选择合适的方法呢？下面我们就来看看.

1.直接开平方法

形如（x+m）2=n（n≥0）的一元二次方程，基本上都采用直接开平方法求解.

例2：解方程：2（x-1）2—8=0

【分析】此题并不是直接开平方的一般形式，故第一步需要转化，然后再求解.

【解答】移项得：2（x-1）2=8

系数化为1得：（x-1）2=4

解之得： =3 ， =-1

【点评】（1）直接开平方法的理论依据是平方根的定义；（2）它适用的方程形式主要是x2=a（a≥0）或ax2=b（ab≥0，a≠0）或

a（x+h）2=k（ak≥0，a≠0）

2﹑配方法

解题步骤：（1）二次项系数：化为1； （2）移项：把方程x2+bx+c=0的常数项c移到方程另一侧，得方程X2+bx=-c； （3）配方：方程两边同加上一次项系数一半的平方，方程左边成为完全平方式； （4）开方：方程两边同时开平方，目的是为了降次，得到一元一次方程； （5）得解：解一元一次方程，得出原方程的解.

例2：用配方法解方程：2x2-8x-9=0

【分析】观察发现二次项系数不为1，依据步骤先将两边除以2，再按照配方的一般步骤求解.

【解答】二次项系数化为1得

x2-4x- =0；

移项得：x2-4x= ；

配方得：x2-4x+22= +4；

（x-2）2= ，

x-2= 或x-2=- ；

解得：x1=2+ ，x2=2-

【点评】特别注意的是：（1）配方法首先要将二次项系数化为1；（2）配方的关键是把方程左边化为含未知数的完全平方式，右边是一个非负数.

3﹑公式法

关于x的一元二次方ax2+bx+c=0（a≠0）当 时，方程的根是 ，这个公式就叫一元二次方程的求根公式。其中b2-4ac就叫根的判别式.

例3：用公式法解方程：2x2+5x=3

【分析】此方程不是一元二次方程的一般形式，所以要先移项化为一般式，从而确定a、b、c和b2-4ac的值，再代入公式求解.

【解答】移项得：2x2+5x-3=0

因为a=2，b=5，c=-3

所以b2-4ac=52-4×2×（-3）=49>0，

所以

=

=

所以 = ， =-3

【点评】（1）一元二次方程的解是由系数a、b、c决定的，所以要正确确定系数；（2）求根公式是在b2-4ac≥0时方程有解，如果b2-4ac<0时，则方程无实数解.

4、因式分解法

因式分解解一元二次方程的步骤：（1）将方程的右边化为0；（2）将方程两边分解为两个一次因式的乘积；（3）令每个因式为0，得到两个一元一次方程；（4）解这两个方程进而求出一元二次方程的解.

例4：用因式分解法解方程：x（x-2）=x-2

【分析】先移项将右边化为0，然后把（x-2）作为公因式提取出来，这样得到两个一次因式的乘积为0了.

【解答】解：移项得：x（x-2）-（x-2）=0

提公因式的：（x-2）（x-1）=0

所以： x-2=0 或 x-1=0

解得： x1=2 x2=1

【点评】解这类方程的关键是能准确提取公因式，切不可两边同除以公因式.

例5：用因式分解法解方程：

4（x-3）2 =25（x-2）2

【分析】先移项将方程右边化为0，再用平方差公式即可达到因式分解的目的。

【解答】移项得：

4（x-3）2 -25（x-2）2=0

所以：﹝2（x-3））2–﹝5（x-2））2=0

变形得：﹝2（x-3）+ 5（x-2）﹞﹝2（x-3）- 5（x-2）﹞=0

整理得：（7x-16）（-3x+4）=0

解之得：x1= x2=

【点评】（1）因式分解的理论依据

是：ab=0，则a=0或b=0；（2）能否用

公式关键是熟记公式的同时并观察是

否符合公式的特点。