生活中的一元二次方程

2015-09-10 07:22彭翠红
初中生世界·九年级 2015年10期
关键词:分支单价矩形

彭翠红

我们在学习数学知识的同时,更重要的是学会用数学知识解决生活中的实际问题,这样才能体现数学的应用价值,下面我们举几个与“一元二次方程”相关的实例.

一、 传播问题

例1 甲型H1N1流感病毒的传染性极强,某地因1人患了甲型H1N1流感没有及时隔离治疗,经过两天的传染后共有9人患了甲型H1N1流感.(1) 平均每天一个人传染了几人?(2) 如果按照这个传染速度,再经过5天的传染后,这个地区一共将会有多少人患甲型H1N1流感?

【分析】假设平均每天一个人传染x人,如果前一天只有1个人感染,1天后感染总人数上升为(x+1)人;前一天2个人感染,1天后感染总人数上升为(x+1)+(x+1)=2(x+1)人;前一天有a个人感染,1天后感染总人数上升为a(x+1)人;若前一天(x+1)个人感染,1天后感染总人数上升为(x+1)(x+1)=(x+1)2人.对于例1,1天后感染的总人数是(x+1)人,再过一天后感染总人数上升为(x+1)2人,即两天后的感染总人数;又过一天感染总人数上升为(x+1)3人,即三天后的感染总人数……;再过5天即7天后的感染总人数为(x+1)7人.

解:(1) 设平均每天一个人传染了x人,

由题意得:(x+1)2=9,

解这个方程,得:

x1=2,x2=-4(x2=-4不合题意,舍去).

(2) (x+1)7=37=2 187(人).

答:(1) 每天平均一个人传染了2人;(2) 再经过5天的传染后,这个地区一共将会有2187人患甲型H1N1流感.(可见传播力量的强大)

练练身手1 某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干、支干和小分支的总数是91,每个支干长出多少小分支?

二、 增长率问题

例2 (2015·甘肃兰州) 股票每天的涨、跌幅均不超过10%,即当涨了原价的10%后,便不能再涨,叫作涨停;当跌了原价的10%后,便不能再跌,叫作跌停.已知一只股票某天跌停,之后两天时间又涨回到原价,若这两天此股票股价的平均增长率为x,则x满足的方程是( ).

A. (x+1)2=11/10 B. (x+1)2=10/9

C. 1+2x=11/10 D. 1+2x=10/9

【分析】本题的难点是跌停前的单价未知,而且单价经历了跌停,连续两次增长共三个阶段.我们可以假设跌停前的单价为单位1,则跌停后单价为9/10,即第一个阶段后的结果;增长1天后的单价为增长前的(x+1)倍,为9/10(1+x),即第二个阶段后的总结果;增长2天后是1天后的(x+1)倍,为9/10(x+1)2,即第三个阶段后的总结果.因此可得方程:9/10(x+1)2=1,方程两边同乘10/9得:(x+1)2=10/9.所以选B.

【点评】无论是流感传播问题还是增长率的问题,都可以理解为每过一天,数量将是前一天的(1+x)倍,若原始数量是a,则一天后总数量是a(1+x),两天后总数量是a(1+x)2,三天后总数量是a(1+x)3,……,n天后总数量是a(1+x)n,用乘积的形式表示若干天后的数量比用和的形式要简洁很多.

三、 利润问题

例3 百佳超市将进货单价为40元的商品按50元出售时,能卖500个,已知该商品每涨价1元,其销售量就要减少10个,为了赚8 000元利润,售价应定为多少,这时应进货多少个?

【分析】上述问题中如果销售价按照单价50元的话,每个利润是10元,可以卖出500个,共可获利5 000元,无法完成利润8 000元的目标,所以只有改变单价并控制适当的单价,才可以完成获得利润8 000元的任务.设商品单价为(50+x)元,则每个商品得利润[(50+x)-40]元,因为每涨价1元,其销售会减少10,则每个涨价x元,其销售量会减少10x个,故销售量为(500-10x)个,根据每件商品的利润×件数=8 000,则应用(500-10x)·[(50+x)-40]=8 000.

解:设每个商品涨价x元,则销售价为(50+x)元,销售量为(500-10x)个,由题意得:(500-10x)·[(50+x)-40]=8 000,

整理得:x2-40x+300=0,

解得:x1=10,x2=30.

经检验x1=10,x2=30都符合题意.

当x=10时,50+x=60,500-10x=400;

当x=30时,50+x=80,500-10x=200.

答:要想赚8 000元,售价为60元或80元.若售价为60元,则进货量应为400个;若售价为80元,则进货量应为200个.

四、 面积问题

例4 一块矩形耕地大小尺寸如图所示,要在这块土地上沿东西和南北方向分别挖4条和2条小渠,如果小渠的宽相等,而且要保证余下的耕地面积为9 600 m2,那么水渠应挖多宽?

【分析】这类问题的特点是,挖渠所占面积只与挖渠的条数和渠道的宽度有关,而与渠道的位置无关. 为了研究问题方便可分别把东西和南北方向的渠道移动到一起(最好靠一边),如图(2)所示.那么剩余可耕的长方形土地的长为(162-2x) m,宽为(64-4x) m;

解:设水渠的宽为x m,由题意得:

(162-2x)(64-4x)=9 600,

解得:x1=1,x2=96(x2=96不合题意,舍去).

答:水渠的宽为1 m.

练练身手2 (2015·四川自贡)利用一面墙(墙的长度不限),另三边用58 m长的篱笆围成一个面积为200 m2的矩形场地.求矩形的长和宽.

参考答案

练练身手1:

解:设每个支干长出x个小分支,则主干数量为1,支干数量为x,小分支数量为x2,由题意得:1+x+x2=91,

解得:x1=-10,x2=9(x1=-10不合题意,舍去).

答:每个支干长出9个小分支.

【点评】本体是传播类的问题,但与例1甲型H1N1流感病毒的传播问题也有些许差别,流感传播者第一天传染后,第二天第三天还继续参与传播;而支干传播问题,主干传播给支干后,主干就不参与继续传播,只由支干来传播给小分支.

练练身手2:

解:设垂直于墙的一边为x米,由题意得:x(58-2x)=200,解得:x1=25,x2=4.

经检验x1=25,x2=4都符合题意.

∴另一边长为8米或50米.

答:当矩形的长为25米时宽为8米,当矩形的长为50米时宽为4米.

(作者单位:江苏省南京师范大学第二附属初级中学)

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