带周期位势平面薛定谔-泊松方程组的结点解

郭文艳，章国庆，刘三阳

（1.上海理工大学理学院，上海200093；2.西安电子科技大学数学和统计学院，陕西西安710071）

带周期位势平面薛定谔-泊松方程组的结点解

郭文艳1，章国庆1，刘三阳2

（1.上海理工大学理学院，上海200093；2.西安电子科技大学数学和统计学院，陕西西安710071）

利用临界点理论中的亏格定理和Nehari流形技巧，本文证明了在二维全空间上一类带周期位势的薛定谔-泊松方程组高能量解的存在性，且该解存在无穷多个结点区域.更进一步，得到了其基态解的存在性且是不变号的.

平面薛定谔-泊松方程组；周期位势；结点解

1　引言

本文考虑如下带周期位势的平面薛定谔-泊松方程组：

其中b＜0，2＜p＜4，函数a（x）满足条件：

（A）a：R2→（0，∞）为Z2周期连续函数，a（x）∈L∞（R2）且

因薛定谔-泊松方程组来源于量子力学和半导体理论，研究它的解的存在性是一个具有物理意义的问题.近年来，许多学者进行了广泛地讨论.对于在三维全空间上的薛定谔-泊松方程组，当b=0时，文献［1-2］证明了基态解的存在性、多重性以及对称性.当b＞0，2＜p＜6时，文献［3］得到了解的存在性.当b＜0时，此时薛定谔-泊松方程组描述了液晶中的Hartree模型，文献［4］讨论了，当时，存在无穷多个径向解.对于在二维全空间上的薛定谔-泊松方程组的研究，现有文献并不多见.文献［5］利用打靶法，证明了解的存在唯一性；特别是，2014年，文献［6］利用变分法得到了，当b＞0，p≥4时，问题（1）解的存在性与对称性.

本文讨论在b＜0，2＜p＜4时，问题（1）高能量解的存在性与变号性（即：其解存在无穷多个结点区域），并进一步证……