由一道高考题引起的思考

杨志军

【关键词】 数学教学;圆锥曲线;距离;

离心率

【中图分类号】 G633.6

【文献标识码】 C

【文章编号】 1004—0463（2015）

18—0123—01

圆锥曲线是高中数学中的重要内容，利用参数方程解决其动点问题是非常有效的方法.然而在求距离的最值当中，分类讨论是学生面临的难点问题.在有些情况下，我们只需由其离心率直接求得.下面就以高考题为例进行讨论.

2008年湖南高考数学试卷中有一道填空题是这样的：已知点A（0，5），椭圆方程为+=1.若P在椭圆上，则AP的最大值是.

解：设P（5cosθ，4sinθ），

则AP=

=

=

=

当sinθ=-1时，AP可取最大值.

∴AP≤9

如右图所示，P点正好取在短轴的端点上.

问题一：是否短轴所在的坐标轴上在椭圆外的定点到椭圆上的最大距离一定是到另一端点的距离吗？

例 已知点A（0，2），椭圆方程为+y2=1，若P在椭圆上，则AP的最大值是多少？

解：设P（2cosθ，sinθ），

则AP=

=

=

=

当sinθ=-时，AP可取最大值，

即AP≤

右图P点并不在短轴的端点上， 可见AP取得最大值时，P可以出现在短轴的端点上，也可以出现在椭圆的其他位置.

如右图，P点的位置决定于椭圆的形状，即椭圆的离心率.

问题二：离心率是何值时，P点在椭圆的短轴的端点上？

例 已知点A（0，m），椭圆方程为+=1，求椭圆上的动点P到A的最大距离.

解：设P的坐标为（acosθ，bsinθ），

则AP=

=

=

=

当b≥c时，>1，∴sinθ=-1取最大值.

故AP≤

=

=

=m+b.

即P点正好是短轴的一个端点.这时，b≥c，即b2≥c2，∴a2≥2c2，从而得e≤.

当b

综合上述，我们得出的结论是：椭圆外在短轴所在坐标轴上的一个定点，到椭圆上P点最大距离可由离心率决定.当e≤时，P点正好为短轴另一端点.

编辑：谢颖丽