由物体的影子变化定位其位置的数学模型研究

霍俊爽 杨柳 吴兆薇 张春转 王柳行

[摘要]本文运用太阳高度角、太阳赤纬角、太阳方位角、日角等地理公式建立了直杆所处的经纬度和直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标之间的数学模型，最后根据建立的模型用MATLAB软件求解出了物体可能所处的经纬度，得到直杆的经纬度为：。

[关键词]影子;数学模型;建模竞赛;纬度角公式

1、引言

随着社会的发展，人们经常会处理和图片或视频等相关的资料，在研究这类问题时，其中有一类需要根据图片或视频的影像资料去确定视频拍摄地点和日期越来越重要。因此本文研究了如何应用太阳高度角、太阳直射纬度、太阳方位角、太阳赤纬角、日角等公式[1]建立了直杆所处的经纬度和直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标之间的数学模型，并应用该模型研究了2015年全国大学生数学建模竞赛中A题的第二问，确定了直杆的地理位置。

2、基本理论

2.1太阳高度与物理影子的关系

经研究发现影子的长度与太阳高度、太阳直射纬度、物体原长因素影响如图1所示。

图1 太阳高度与物理影子的关系图

从图1中不难看出，距离太阳直射点越近，太阳高度角越大，物体的影子越短;距离太阳直射点越远太阳高度角越小，物体的影子越高;物体越长，物体影子越长;物体越短，物体影子越短[2]。

2.2轨道线形成图及影长与杆高公式等

一天之中一根直杆在太阳下直立时，直杆的影子随着太阳的转动在不断地变化，而这时就可以将直杆影子移动的轨迹看作太阳转动，运用这一原理，将地球绕太阳公转和自转的移动简化成为地球是不动的，而后假设太阳是一个球体，地球与球体有统一球心。

图2中太阳位于L在天体中相对地球位置O上某一点的相对位置，由这个点的地理纬度、日期和时间3个因素决定。以地平坐标及赤道坐标同时表示太阳位置，即以太阳高度角h，方位角A及赤纬角c，时角s来表示。

可知太阳高度角的公式为

其中h为太阳高度角，l为杆影子的长度，H为杆的高度，w为直杆所在地的纬度，c为太阳直射的纬度角，s为时角。

太阳直射纬度角公式为，N为从1月1日起至所观测日的天数。

太阳方位角公式为

综上可得太阳的方位角公式为，太阳的赤纬角公式为

其中δ为日角。即，其中，从观测点天球子午圈沿天赤道量至太阳所在时圈角的距离即时角公式为随着地球的自转不同的地方具有不同的时差，时差公式为

，综上可得直杆的纬度公式[3]为

直杆的经度公式为，其中γ0为直杆所在地点的标准经度。

3.实证分析

2015年全国大学生数学建模竞赛A题第二个问题是要求建立数学模型确定直杆所处的地点。基于MATLAB软件，将影子的定点坐标数据代入以上所得的经纬度模型[4]，求得直杆的地理位置约为。该直杆在我国的海南岛，如图3所示。

4.讨论

本文运用太阳高度角、太阳赤纬角、太阳方位角、日角等地理公式建立了直杆所处的经纬度和直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标之间的数学模型，最后根据建立的模型求解出了直桿所处的经纬度[5]。

参考文献

[1]郑鹏飞等.基于影子轨迹线反求采光效果的技术研究[J].华东理工大学学报，2010.（6）：458-463.

[2]E.W伍拉德，G.M.克莱门斯，球面天文学[M].北京：高等教育出版社（本科版），1983.

[3]尚智勇.一种新的纬度测量方法[J].大学物理，2010，9：51-54.

[4]唐爽，马世红.利用数码相机测量所在地区纬度[J].大学物理，2009，28（7）：56-58.

[5]徐宝菜，应振华.地球概论教程[M].北京：高等教育出版社，1983：96-97.

作者简介

霍俊爽（1982-），男，硕士，讲师，研究方向：应用数学与统计学。

△通信作者：王柳行（1965-），男，教授，硕导，研究方向：社会医学、教育管理.

基金项目

吉林省教育厅十二五规划科学技术研究项目（2015393），吉林省科技发展计划项目（20120697）.