巧用二次函数图象及性质解相关高考试题

刘海青

摘 要：函数是高中数学的灵魂，尤其是二次函数贯于穿整个高中数学，是每年必考的内容。通过它可以研究函数的很多性质，并且与不等式、数列等有着广泛的联系。

关键词：二次函数;图象;性质;应用;解题规律

函数是高中数学的灵魂，尤其是二次函数贯穿于整个高中数学，是高考必考的内容。通过它可以研究函数的很多性质，并且与不等式、数列等有着广泛的联系。本文主要通过二次函数在高中数学中的应用进行归类，以揭示二次函数的解题规律。

一、最值问题

一般先用配方法化为y=a（x-m）2+n的形式，得顶点（m，n）和对称轴x=m，结合二次函数图象求解，常见的有三种类型：

（1）顶点固定，区间也固定;

（2）即顶点为动点，区间固定，这时要讨论顶点横坐标何时在区间之内，何时在区间之外;

（3）顶点固定，区间变动，这时要讨论区间中的参数。

例：函数f（x）=x2+2mx+m2-m-，当x∈（0，+∞）时，恒有f（x）>0，求m的取值范围。

思路点拨：此题为动轴定区间问题，需对对称轴进行讨论。

解：f（x）=（x+m）2-m-

当-m≤0即m≥0时，f（0）≥0？圯m2-m-≥0，∴m≥;

当-m>0即m<0时，-m->0，∴m<-3.

综上得：m<-3或m≥.

点评：分类讨论要做到不漏掉任何情况，尤其是端点处的数值不可忽视，最后结果要取并集。

二、一元二次方程ax2+bx+c=0的实根分布问题

在研究一元二次方程根的分布问题时，常借助于二次函数图象数形结合来解，一般从二次函数的四个要素来考虑：开口;区间端点函数值符号;对称轴;Δ。

例：已知a是实数，函数f（x）=2ax2+2x-3-a，如果函数y=f（x）在区间[-1，1]上有零点，求a的取值范围。

解析1：函数y=f（x）在区间[-1，1]上有零点，即方程f（x）=2ax2+2x-3-a=0在[-1，1]上有解。

a=0时，不符合题意，所以a≠0，方程f（x）=0在[-1，1]上有解？圳f……