巧用柯西不等式

邹同俭

求代数式的最值

例1   已知[x+2y+3z=1]，求[x2+y2+z2]的最小值.

分析  这个题看起来与柯西不等式不沾边，但注意到求最小值且又有定值，可以尝试柯西不等式. 若构造[12+22+32?x2+y2+z2≥1?x+2?y+3?z2]，恰到好处.

解  [∵12+22+32?x2+y2+z2≥1?x+2?y+3?z2][=1，]

[∴][x2+y2+z2≥114，]当且仅当[x1=y2=z3]且[x+2y+3z=1，]即[x=114，y=17，z=314]时，[x2+y2+z2]取得最小值[114].

点拨  此题巧妙凑配出柯西不等式的结构形式是解题的关键和亮点.

例2  如图，已知[△ABC]是等腰直角三角形，[CA=1，]点[P]是[△ABC]内一点，过点[P]引三边的平行线，与各边围成以[P]为顶点的三个三角形（图中阴影部分）.当点[P]在[△ABC]内运动时，以[P]为顶点的三个三角形的面积和的最小值为           .

分析  题目中隐含了三个三角形边长之和为1这个条件，若分别设为[a，b，c.]而以[P]为顶点的三个三角形的面积和为[12a2+12b2+12c2=12（a2+b2+c2）]，则只需求出[a2+b2+c2]的最小值. 具有运用柯西不等式解题的可能性.

解  设三个阴影三角形的边长分别为[a，b，c，]则它们的面积分别为[12a2，12b2，12c2，]并且[a+b+c=1]. 由柯西不等式得，[（a2+b2+c2）（12+12+12）≥（a+b+c）2=1]，所以[a2+b2+c2≥13]，故以[P]为顶点的三个三角形的面积和的最小值为[16]. 当且仅当[a=b=c=13]取得最小值.

点拨  本题具有一定的综合性，要求我们读懂题，思考要有深度，要能够挖出隐含条件，合理转化. 运用柯西不等式解题需要注意：是否有定值，最大值（最小值）以及取得最值的条件（等号是否成立）.

证明不等式

例3  设[a，b，c]为正数，且不全相等，求证：[2a+b+2b+c+2c+a>9a+b+c].

分析  [2a+b+2b+c+2c+a>9a+b+c]等价于[（a+b+c）（2a+b+2b+c+2c+a）>9，]而[9=32=（1+1+1）2，][（a+b+c）（2a+b+2b+c+2c+a）=[（a+b）+（b+c）+（c+a）]?（1a+b][+1b+c][+1c+a）.] 这样就可以运用柯西不等式来证明了.

证明  [∵（a+b+c）（2a+b+2b+c+2c+a）]

[=2（a+b+c）?（1a+b+1b+c+1c+a）]

[=[（a+b）+（b+c）+（c+a）]?[1a+b+1b+c+1c+a]]

[=[（a+b）2+（b+c）2+（c+a）2]?[（1a+b）2+（1b+c）2]

[+（1c+a）2]]

[≥[a+b?1a+b+b+c?1b+c+c+a?1c+a]2] [=32=9]，

又[a，b，c]为正数，且不全相等，所以等号不成立.

所以[2a+b+2b+c+2c+a>9a+b+c].

点拨  原题的形式不具有柯西不等式的特征，但是等价转化后，有“柳暗花明”之感.

解方程或方程组

例4  解方程组[x2+y2+z2=2，3x+4y-5z=10.]

分析  三元二次方程组，按照常规看，似乎少了一个方程，但运用柯西不等式可以神奇解决.

解  由柯西不等式得，[（x2+y2+z2）?[32+42+（-5）2]≥][（3x+4y-5z）2].

由已知得，[2×50≥102].

所以有[（x2+y2+z2）[32+42+（-5）2]=（3x+4y-5z）2].

即不等式只有取等号时成立.从而由柯西不等式中等号成立的条件得，[x3=y4=z-5]，它与[3x+4y-5z=10]联立解得[x=35，y=45，z=-1].

点拨  柯西不等式中含有相等关系，用好这个相等关系——取等号的条件，可以解方程或方程组（不定方程或方程组）以及求代数式的值.

求代数式的值

例5  若直线[f（x）=12x+t]经过点[P（1，0），]且[f（a）+][f（2b）+f（3c）=-12，]则当[3a+2b+c=]     时，[a2+2b2+3c2]取得最小值.

分析  直线过点[P]可以求出[t]，可以得到[a，b，c]的等式，从而考虑用柯西不等式. 再用柯西不等式取等号的条件求出代数式的值.

解  由直线[f（x）=12x+t]经过点[P（1，0）]得，[t=-12].

所以[f（x）=12x-12.]

又由[f（a）+f（2b）+f（3c）=-12]得，

[12（a+2b+3c）-32=-12]，即[a+2b+3c=2].

由柯西不等式得，

[a2+（2b）2+（3c）2?][12+（2）2+（3）2]

[≥（a+2?2b+3?3c）2=4].

由此可得，[a2+][2b2+3c2≥46=23].

等号成立的条件为[a1=2b2=3c3，]且[a+2b+3c=2，]即[a=13，][b=13，][c=13，]

所以[3a+2b+c=2].

答案  [2]

点拨  本题考查柯西不等式在求解三元条件最值上的应用.先由直线过定点[P（1，0）]可得[a+2b+3c=2]，然后再思考系数的匹配，构造柯西不等式的形式，可求出[a2+2b2+3c2]的最小值，最后由柯西不等式等号成立的条件，求出[a，b，c]，可得[3a+2b+c]的值.

在许多问题中，如果存在含有几个变量的代数式是定值这个条件，我们可以考虑利用柯西不等式来解决，这样往往能收到事半功倍的效果.