线性规化常见题型

代翀

题型一  求约束条件的面积

例1  若变量[x，y]满足[x-2y+1≤0，2x-y≥0，x≤1，]则求点[P（2x-y，x+y）]表示的区域的面积.

分析  初看本题有点费解，但经过深入分析，点[P（2x-y，x+y）]可以看成[（a，b），]这样一来就得到[x=a+b3，y=2b-a3，]再代入原不等式组就得到关于[a，b]的不等式组，这就是点[P]表示的平面区域.

解  联立[2x-y=a，x+y=b，]解得[x=a+b3，y=2b-a3.]

代入[x-2y+1≤0，2x-y≥0，x≤1]中得到，

[a-b+1≤0，a≥0，a+b-3≤0.]

不等式组表示的平面区域如图阴影所示，其面积为1.

点拨  找到点[P（2x-y，x+y）]表示的平面区域是解题的关键，也是难点. 审题时注意变换角度考虑问题，学会等价转化，使隐含问题明朗化. 求平面图形的面积可以借用已知的特殊图形的面积公式，必要时把不规则图形切割成规则图形;当然也可以利用定积分来求.

题型二  求目标函数的最值

例2  某企业生产甲、乙两种产品均需用[A，B]两种原料. 已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（   ）

[＼&甲＼&乙＼&原料限额＼&A（吨）＼&3＼&2＼&12＼&B（吨）＼&1＼&2＼&8＼&]

A.12万元 B.16万元

C.17万元             D.18万元

解析  设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为[x，y]吨，则利润[z=3x+4y].

由题意得，[3x+2y≤12，x+2y≤8，x≥0，y≥0，]其表示如图阴影部分区域.

当直线[3x+4y-z=0]过点[（2，3）]时，[z]取得最大值，所以[zmax=3×2+4×3=18.]

答案  D

点拨  这是一个线性规划应用题. 设出变量，列出不等式组以及利润函数，精准画出可行域，找到最优解，求出利润的最大值. 这是解线性规划题的常规流程.

题型三  求目标函数或约束条件中的参数及其范围

例3  设[z=kx+y，]其中实数[x，y]满足[x+y-2≥0，x-2y+4≥0，2x-y-4≤0，]若[z]的最大值为12，则实数[k=]     .

分析  可行域已知，目标函数中含有参数[k]. 由[y=-kx+z]知，直线的纵截距与目标函数[z]一致，此时[k]的正负决定目标函数的最优解，故需要讨论.

解  此不等式表示的平面区域如下图所示：[y=-kx+z]，当[k>0]时，直线[l0：y=-kx]平移到[A]点时目标函数取最大值，即[4k+4=12，∴k=2.]

当[k<0]时，直线[l0：y=-kx]平移到[A或B]点时目标函数取最大值，此时[k]的取值大于零，所以不满足.

答案  2

点拨  一般情况下，这类问题都要对参数进行讨论，在不同的情况下，最优解不同，“准纵截距”不同，结果不同.

题型四  线性规划在其它数学领域内的综合问题

例4  设变量[x，y]满足[x-2+y-2≤1]，则[y-xx+1]的最大值为     .

分析  [x-2+y-2≤1]表示的区域可以看成是把[x+y≤1]表示的平面区域经过平移得到的，是以（2，2）为中心、边长为[2]的正方形. 而[y-xx+1]经过分离常量成[y-xx+1=y+1x+1-1，][y+1x+1]的几何意义我们很熟悉.

解  如图，不等式[x-2+y-2≤1]表示的平面区域为图中阴影部分，它是由虚线正方形平移得到的.

因为[y-xx+1=y+1x+1-1]，而[y+1x+1]表示可行域内的点[（x，y）]与点[A（-1，-1）]连线的斜率.

由图可以知道，可行域内的点[B（1，2）]使[y+1x+1]的值最大，最大值为[32].

所以[y-xx+1]的最大值为[12].

答案  [12]

点拨  对于线性规划与其他数学领域内的综合题，一定要认真审题：可行域是怎么构成的，画图要尽量精准，目标函数是否具有具体的几何意义. 如果不清楚，要想办法等价转化为具有具体的几何意义的形式.