用单位圆妙解三角题

华腾飞

求值

例1  已知[sinα+sinβ=m，cosα+cosβ=n（mn≠0），]求[tan（α+β）].

解析  如图1所示，利用单位圆，有点[A（cosα，sinα），][B（cosβ，sinβ），] 其中[α，β]为倾斜角，挖掘[α+β2]的意义为弦[AB]的中点[C（m2，n2）]和原点连线的倾斜角. 由斜率的意义[tanα+β2=mn，]由二倍角公式得[tan（α+β）=2mnn2-m2.]

点拨  巧妙地利用单位圆，不仅极大地简化了解题过程，而且提高了思维的创造性.

[图1] [图2]

求最值

例2  求函数[u=sinα2+cosα]的最值.

解析  [u=sinα-0cosα-（-2）]表示点[P（cosα，sinα）]与[A（-2，0）]连线的斜率，而[P（cosα，sinα）]在单位圆[x2+y2=1]上，如图2. 过[A]作单位圆的切线[AB]和[AC]，易得[kAB =33]，[kAC =-33]，故[umax =33]，[umin =-–33].

点拨  通过利用单位圆，快速、简捷地获解，令人拍手叫绝.

解三角方程

例3  若[2sin（2x+π3）=1]，求[x]的值.

解析  设[2x+π3=α]，则已知式可化为[sinα=12]. 过[y]轴上的点[N（0，12）]作[x]轴的平行线，交单位圆与点[A]和[B]，则[OA]和[OB]为角[α]的终边，如图3所示. 可见[∠xOA=π6，][∠xOB=5π6，]故角[α]的集合是[{α|α=][2kπ+π6]或[α=2kπ+5π6，k∈Z}，]即[{x|2x+π3=2kπ+π6]或[2x+π3=2kπ+5π6，k∈Z}，]从而得到[x]的值的集合是[{x|x=][kπ-–π12]或[x=kπ+π4，k∈Z}].

点拨  在解题过程中，要能够灵活地运用所学的知识，开拓思路，寻觅最佳解题途径，从而使问题简捷获解.

[图3] [图4]

求三角函数的定义域

例4  求函数[y=2sinx-1+lg（1+tanx）]的定义域.

解析  应有[sinx≥12]且[tanx>-1]. 在单位圆中分别画出两个不等式的角[x]的终边范围，如图4所示. 再取它们的公共部分，注意角的终边的取舍，得到函数的定义域是[[2kπ+π6，2kπ+π2）∪（2kπ+3π4，][2kπ+5π6]（k∈Z）].

点拨  利用单位圆解题，简化了解题过程，提高了解题技能和速度，值得肯定.

证明等式

例5  已知[sinA+sin3A+sin5A=a，cosA+cos3A][+cos5A=b，]求证：当[b≠0]时，[tan3A=ab].

证明  设[M（cosA，sinA），N（cos3A，sin3A），][P（cos5A，][sin5A）]是[△MNP]的三个顶点，它们均在单位圆[x2+ y2=1]上，如图5. [∠MON=∠NOP=2A，]所以[|MN|=|NP|，]因此[△MNP]是等腰三角形，从而其重心[G（b3，a3）]在[ON]上，于是[tan3A=ab].

点拨  利用单位圆，解决一个看上去较为复杂的问题，从中不难体会到单位圆在证三角题中的妙用.

[图5][图6]

解三角不等式

例6  解不等式[sinx>22].

解析  因一、二象限平分线交单位圆于[A，B，]易知[AD=22，][BC=22，]如图6所示. 要使[sinx>22，]则角[x]的终边应在[OA～OB]之间，因此不等式的解集为[{x| 2kπ+π4

点拨  巧妙利用单位圆，使看上去不容易求解的问题顺利获解，令人心情舒畅.

证明三角不等式

例7  求证：[sinx

证明  如图7所示，[sinx=AD，x=BD，][tanx=BC].

显然[AD

又[S扇形OBD

则[12OB?BD<12OB?BC.]所以[BD

综上可知，[sinx

点拨  直接证明有困难，单位圆一现，问题立即变简单了，证明过程也简捷了.[图7][图8]

例8  设[α]为锐角，求证[1

解析  如图8所示，设角[α]的终边与单位圆交于[P（x，y），]过[P]作[PQ⊥Ox]于[Q]，[PR⊥Oy]于[R，][sinα=y，][cosα=x].

在[△OPQ]中，[|QP|+|OQ|>|OP|]，即[sinα+cosα>1.]①

又[S△OAP =12 OA |·| QP | =12y =12sinα，]

[S△OPB=12][OB·RP=12x=12cosα，]

[S扇形OAB =π4，]

且四边形[OAPB]被扇形[OAB]所覆盖，

所以[S△OAP+S△OPB

由①②得，[1

点拨  灵活运用单位圆，使看上去较为复杂的证明题，简捷、快速获证.

比较三角式的大小

例9  比较大小：[sin1，cos1，tan1].

解析  注意到[π4<1<][π2]，则角1在如图9所示的位置.由图可知，[OA

点拨  利用单位圆，将看上去难以比较的问题，快速地比较出大小，令人赞不绝口.

缩小角的范围

例10  在[△ABC]中，已知[cosA=513，][sinB=35，]则[cosC]为（   ）

A. [1665]             B. [5665]

C. [5665]或[1665]         D. [-1665]

解析  本题许多同学易错选C，究其原因是由于未尽量缩小角的范围所致. 事实上只要利用图4中的“八卦”图缩小[A]和[B]的范围，从而缩小角[C]的范围即可.

[∵cosA=513<12， A∈（0，π），][∴A∈（π3]，[π2]）.

[∵12]

[∴B∈（π6，π4）∪（3π4，5π6）.]

于是[A+B∈（π2，3π4），][∴C∈（π4，π2），][∴cosC∈][（0，22）.]

答案  A

点拨  灵活利用单位圆，缩小了角的范围，从而快速获解.