三角函数误区分析

沈辉

忽视三角函数值对角范围的制约

例1  已知[sinα=55]，[sinβ=1010]，且[α]，[β]均为锐角，求[α+β]的值.

错解  [∵α，β]均为锐角，

[∴cosα=1-sin2α=255，cosβ=1-sin2β=31010.]

[∴sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=22].

[∵α，β]均为锐角，即[0<α<π2]，[0<β<π2]，

[∴0<α+β<π].故[α+β=π4或3π4].

分析  本题错解的原因是没有注意题目中的条件对角范围的限制.事实上，由题设中条件[sinα=55<12]，[sinβ=1010<12]，还可进一步缩小[α，][β]的范围，得到[α+β]的值惟一.

正解  由以上分析可知，[0<α<π6]，[0<β<π6]，[∴0<α+β<π3]. [∴α+β=π4].

点拨  在给值求角问题中，常常忽视角的范围或不能发现三角函数值对角范围的制约而扩大角的范围，出现增根不能排除的情况. 要避免这种情况发生，解题时要结合有关角的三角函数值把角的范围尽可能地缩小. 同时，已知三角函数值求角，选函数时，要尽可能选择在该角所在区间内单调的函数.

忽视变换过程中对参数的讨论

例2  化简[cos（4n+14π+α）+cos（4n-14π-α）][（n∈Z）.]

错解  [cos（4n+14π+α）+cos（4n-14π-α）]

[=cos（nπ+π4+α）+cos[nπ-（π4+α）]]

[=cos（π4+α）+cos[-（π4+α）]=2][cos（π4+α）.]

分析  造成错解的原因是在应用诱导公式变换时没有对参数[n]进行奇偶性讨论.

正解  原式[=cos（nπ+π4+α）+cos[nπ-（π4+α）]].

当[n]为偶数时，即[n=2k（k∈Z）]时，原式[=2cos（π4+α）.]

当[n]为奇数时，即[n=2k+1（k∈Z）]时，

原式[=-2cos][（π4+α）.]

点拨  三角函数是周期函数，三角恒等变换中经常涉及与自然数有关的周期性问题，而自然数不同的奇偶性会得到不同的结果. 因此，在含有参数的三角问题中，一定要注意对参数[n]的奇偶性的讨论.

忽视三角函数值间的制约关系

例3  已知[sinx+siny=13，]求[siny-cos2x]的最大值.

错解  由[sinx+siny=13]得 ，[siny=13-sinx]，

所以[siny-cos2x=13-sinx+sin2x-1]

[=（sinx-12）2-1112].

又[-1≤sinx≤1，]

[∴sinx=-1时，][（sinx-12）2-1112]取得最大值，即[siny-cos2x]取得最大值[43].

分析  上述解法虽然注意到了[sinx]的有界性，但却没有注意到当[sinx=-1]时，会得到[siny=43>1]的矛盾，所以[sinx]肯定是取不到[-1]的，所以必须根据[-1≤siny≤1]进一步确定[sinx]的取值范围.

正解  [∵sinx+siny=13]，[∴siny=13-sinx].

由[-1≤siny≤1]得， [-1≤13-sinx≤1].

又[-1≤sinx≤1]， [∴-23≤sinx≤1].

[∴siny-cos2x=13-sinx+sin2x-1][=（sinx-12）2-1112.]

[∴sinx=-23时，][siny-cos2x]取得最大值[49].

点拨  在求解含[sinx，cosx]的多项式时，必须根据题设中给出的条件确定相关的取值范围，全方位、多角度地考虑问题，不能盲目应用正、余弦的有界性，忽视三角函数之间的制约作用.

忽视正、余弦函数的内在关系

例4  若[sinθ=m-3m+5，cosθ=4-2mm+5，][θ∈（π2，π）]，则[m]的值为（   ）

A. [m=8]     B. [m<-5或m>3]

C. [3

错解  [∵θ∈（π2，π）]，[∴0

即[0

解得[3

分析  错解中忽略了[sin2θ+cos2θ=1]，而未解出[m].

正解  [∵θ∈（π2，π）]，

[∴0

即[0

又[sin2θ+cos2θ=1，]即[（m-3m+5）2+（4-2mm+5）2=1.]

综合以上条件，解得[m=8].

答案  A

点拨  在解这类题时，不能独立地考虑sin[θ]和[cosθ]的取值范围，要注意到它们还有[sin2θ+cos2θ=1]这一内在关系.

忽视三角变换中变形过程的等价性

例5  若[（1-cosθ1+cosθ-1+cosθ1-cosθ）sinθ2cosθ2（sinθ2-cosθ2）（sinθ2+cosθ2）=1]，则[θ]的取值范围是       .

错解  [∵1=（1-cosθ1+cosθ-1+cosθ1-cosθ）sinθ2cosθ2（sinθ2-cosθ2）（sinθ2+cosθ2）]

[=[（1-cosθ）21-cos2θ-（1+cosθ）21-cos2θ]?12sinθ-cosθ]

[=-2cosθsinθ?sinθ-2cosθ][=sinθsinθ]，

[∴sinθ>0.][∴θ]的取值范围是[（2kπ，2kπ+π），k∈Z].

分析  上述解法的最后一个等式[-2cosθsinθ?sinθ-2cosθ=][sinθsinθ]是不等价转化，等式左边还有条件[cosθ≠0]，即[x≠2kπ+π2，k∈Z].

正解  由以上分析可知，[θ]的取值范围是[（2kπ，2kπ+π2）?（2kπ+π2，2kπ+π），k∈Z].

点拨  在式子的变换过程中，一定要保证是恒等变换，即定义域和值域都要相同，特别是在乘以或除以一个式子时，要注意定义域的变化情况.

忽视挖掘题目中的隐含条件

例6  已知[A，B，C]是[△ABC]的内角，且[cosA=35，][sinB=513]，试求[cosC]的值.

错解  [∵cosA=35>0，][∴0

又[∵sinB=513，][∴cosB=±1213].

当[cosB=1213]时，

[cosC=-cos（A+B）=-cosAcosB][+sinAsinB=-1665.]

当[cosB=-1213]时，[cosC=5665.]

分析  上述错解的原因是忽视三角形中已知的边角关系对角的制约，没有对结果进行适当地取舍.

正解  若[B∈π2，π，则π-B∈0，π2].

由[sinπ-B=sinB=513<45=sinA]得，

[π-Bπ，与A+B<π]矛盾.

故角[B]为锐角，从而[cosB=1213]，故[cosC=-1665].

点拨  在解与三角形有关的三角问题时，必须注意三角形中的边角等量关系、边角的不等关系及内角和关系等对角范围的制约，以免产生增解.