一类非线性高阶三点边值问题可解的充分条件

王 权，张 英，仝耀华

（山西大同大学数学与计算机科学学院，山西大同037009）

一类非线性高阶三点边值问题可解的充分条件

王 权，张 英，仝耀华

（山西大同大学数学与计算机科学学院，山西大同037009）

微分方程边值问题广泛应用于机械、电讯、化工、物理学、应用数学、航天、生物等领域，随着微分方程的理论逐步完善和求解的深入研究，研究边值问题得到了许多结果，其中不乏一些重要的结论。在本文中，我们考虑的是一类非线性高阶三点边值问题，利用已有的结论在给定条件下的增长区间内，我们主要通过Leray-Schauder不动点定理得到题存在的一些充分条件。

边值问题;不动点定理;充分条件

1 研究的问题

在文献[1]的研究基础上,本文主要关注下面的高阶非线性三点边值问题解的存在性:

2 主要定理

定理1假设不恒为零,并且存在非负函数k,h∈L1[0,1]使得:

证明为了证明定理,我们首先证明以下要用到的引理:

引理1假设。 当,问题:(1)(2)(3),这里n≥2,有解为:

事实上，由(1)知，

依次积分推导得到:

把(5)(6)带入(4)中得:

由方程同构性质,得到方程(1)(2)(3)的解为

接下来我们开始定理的证明:设

不妨设B＜1，由于不恒为零,存在,使得。

使用Arzela-Ascoli定理推广应用[2-3],我们得出结论:算子F是Cld([0,1],R)→Cld([0,1],R)的完备的连续算子[4],且易知问题问题(1)(2)(3)就至少有一个解,R )。当且仅当是F在Cl中的一个不动点。

推论1假设f(t),0不恒为零,

且满足下列条件之一:

(1)存在一个常数p＞1,使得:

(2)存在常数μ＞0,使得

证明使用上面证明中的B,我们只要证明B＜1。

由于M＞0，我们得到以下关于B＜1的证明：

(1)使用Holder不等式得到：

证毕。

推论2假设f(t,0 )不恒为零,并且存在非负函数

(1)存在一个常数p＞1,使得:

(2)存在常数μ＞-n,

并且

问题(1)(2)(3)就至少有一个解u∙∈Cld([0,1],R)。

证明同样,我们只要证明B＜1。

在式中:

3 结论

关于问题(1)(2)(3)我们得到了解存在的一些条件：

(II)假设f(t,0 )不恒为零,并且存在非负函数

(1)存在一个常数p＞1,使得:

(2)存在常数μ＞0,使得

(I II)假设f(t,0 )不恒为零,，并且存在非负函数

(1)存在一个常数p＞1,使得:

(2)存在常数μ＞-n,使得

[1]MURTHY K N，RAO R S.A theoty of existence and uniqueness of solutions to three point boundary value problems[J].J Math Anal Appl,1992(167):43-48.

[2]张恭庆.林源渠.泛函分析讲义[M].北京：北京大学出版社,2004.

[3]郭伟.Arzela-Ascoli定理的一个推广级应用[J].系统科学与数学,2002,11(1):115-122.

[4]张炳根.测度链上微分方程的进展[J].中国海洋学报,2004,34(5):907-912.

[5]郭大钧.孙经先.刘兆理.非线性常微分方程的泛函方法[M].济南：山东科学技术出版社，1995：156-182.

〔责任编辑 高海〕

Sufficient Conditions on the Existence of A Class of Nonlinear Higher Order Three Point Boundary Value

WANG Quan,ZHANG Ying,TONG Yao-hua
(School of Mathematics and Computer Sciences,Shanxi Datong University,Datong Shanxi,037009)

Boundary value problems of differential equations are widely used in machinery,telecommunications,chemical engineering,physics,applied mathematics,aerospace,biology and other fields.With the further research on the theory of differential equation,the study of boundary value problems has got a lot of results,some of which have some important conclusions.In this paper,we consider a class of nonlinear higher order three point boundary value problem,by using use of the existing results in the range of growth under given conditions,some sufficient conditions for the existence of the problems are obtained by using the Leray-Schauder fixed point theorem.

boundary value problem;fixed point theorem;sufficient condition

O141.4

A

1674-0874(2015)06-0007-04

2015-10-16

王权(1976-)，男，山西大同人，硕士，讲师，研究方向:应用数学。