利用不动点定理研究一类椭圆型方程的奇摄动边值问题

谭芳芳,刘树德

(安徽工程大学机电学院,安徽芜湖 241000)

利用不动点定理研究一类椭圆型方程的奇摄动边值问题

谭芳芳,刘树德

(安徽工程大学机电学院,安徽芜湖 241000)

研究了一类半线性二阶椭圆型方程的奇摄动边值问题．利用合成展开法构造出问题的零次形式近似,并应用椭圆型算子的最大值原理和改进的不动点定理证明解的存在性及解的渐近性质．

奇摄动;边值问题;椭圆型方程;合成展开法;不动点定理

在微分方程定解问题的研究中,不动点原理是证明解的存在性及唯一性的一个强有力的工具．1974年,Harten van[1]把不动点原理应用到非线性椭圆型方程的奇摄动问题中,随后Geel[2]用改进的形式研究了非线性双曲型方程的奇摄动问题．Jager de和江福汝[3]综合阐述了奇摄动理论和方法,应用椭圆型算子的最大值原理和改进的不动点定理广泛研究各类奇摄动问题．

在文献[3]的基础上讨论一类半线性二阶椭圆型方程的奇摄动边值问题,利用合成展开法[4-8]构造出问题的零次形式近似,应用椭圆型算子的最大值原理和改进的不动点定理证明解的存在性,并对近似解作出渐近估计．

引理1[3](椭圆型算子的最大值原理)设

式中a,b,c,d,e,f都是有界区域Ω⊂R2上的连续函数,满足b2－4ac＜0且a(x,y)＞0,f(x,y)≤0．若存在两次连续可微函数Φ(x,y)和Ψ(x,y),使得

并在Ω的边界∂Ω上满足|Φ|≤Ψ,则在¯Ω＝Ω∪∂Ω上成立|Φ|≤Ψ．

通常称Ψ(x,y)为闸函数．

引理2[3](Harten不动点定理)设(N,‖·‖1)是赋范线性空间,(B,‖·‖)是Banach空间,F是N到B的非线性映射,F[0]＝0,且F可分解为

式中,L是F在p＝0的线性化算子,L和Ψ满足如下两个条件:

(i)L是双射,其逆L－1连续,即存在常数l＞0使

其中ΩN(ρ)＝{p|p∈N,‖p‖1≤ρ},m(ρ)当ρ→0时单调减少,且

1 构造形式近似式

考虑如下形式的半线性椭圆型方程的奇摄动边值问题

式中,ε＞0是小参数,n≥0是自然数,Ω是具有光滑边界的有界区域,g,φ为其变元的充分光滑函数,且在上g(x,y)＞0．

显然退化方程

在∂Ω的一个充分小的内邻域U中引入局部坐标(ρ,σ),将U表示为

使得在U中(x,y)与(ρ,σ)之间构成一一对应,且对应表达式为

此处x＝x(σ),y＝y(σ),0≤σ≤σ0为∂Ω的参数表示[3]．为了简单起见,我们仍记

将式(3),式(4)代入式(1),得到

其中

将式(6)代入式(1),式(2),则零次近似v0满足下面的边值问题

式中,¯φ(σ)＝φ(x(σ),y(σ))．且边界层函数v0(τ,σ)应满足

由式(7)可知,当v0＞0时此时v作为τ的函数是上凹的;而当,此时v作00为τ的函数是上凸的．而limv0(τ,σ)＝0,所以只要不为零,函数v0(τ,σ)对τ≥0不变号;于是当随τ增大而单调减小;当v0(τ,σ)＜0时,v0(τ,σ)随τ增大而单调增大．于是对v0(τ,σ)＞0的情形,由v0(τ,σ)＞0及有从而

将上式两边从τ到＋∞积分,得到

再将它从0到τ积分,推出

同理,对v0(0,σ)＜0的情形也有类似结果．故只要v0(0,σ)≠0,就有

令

则~u(x,y)为边值式(1),式(2)的一个零次近似,且满足

及

式中,ψ(ρ)∈C∞[0,ρ0]是适当的截断函数,满足

再令

将它代入式(1),式(2),则余项R(x,y)满足

2 解的存在性及渐近性质

显然F[0]＝0,F在p＝0的线性化算子为

于是

取

其范数分别定义为

首先,对任意的χ∈B,考虑线性边值问题

可取Φ(x,y)＝L－1[χ]及闸函数Γ(x,y)＝l－1‖χ‖,其中l(0＜l＜1)为常数,则容易得到

及

式中,ΩN(~ρ)≡{p:p∈N,‖p‖1≤~ρ},C＞0为常数．记m(~ρ)＝C~ρ．这意味着引理2中的条件(ii)满足．

由于式(11)的右边是O(ε)≜χ,故从引理2推出,对∀χ∈B:存在p∈N使

且

即存在R(x,y)满足式(11),式(12),且

综上所述,我们得到如下定理．

定理 设Ω是具有光滑边界的有界区域,ε＞0为小参数,g,φ为其变元的充分光滑函数,且在上g(x,y)＞0．则边值问题式(1),式(2)在上存在解u＝uε(x,y)且当ε→0时

[1] Harten van A．Singular perturbation problems for nonlinear elliptic second order equations[J]．North-Holland Math．Studies,1974,13:181-195．

[2] Geel R．Nonlinear initial value problems with a singular perturbation of hyperbolic type[J]．Proc．Roy．Soc．of Edinburgh, section(A),1979,89:333-345．

[3] Jager de,E M,Jiang Furu．The Theory of Singular Perturbation[M]．Amsterdam:North-Holland Publishing Co．,1996．

[4] 刘树德,鲁世平,姚静荪,等．奇异摄动边界层和内层理论[M]．北京:科学出版社,2012．

[5] 刘树德,孙建山,谢元静．一类奇摄动拟线性边值问题的激波解[J]．数学物理学报,2012,32(2):312-319．

[6] Y H Feng,S D Liu．Spike layer solutions of some quadratic singular perturbation problems with high-order turning points[J]．Math．Appl．,2014,27(1):50-55．

[7] 马晴晴,刘树德．具有高阶转向点的奇摄动二次问题的激波解[J]．数学杂志,2014,27(1):50-56．

[8] 刘树德,叶珊珊,王丹凤．具有非单调过渡层性质的奇摄动半线性边值问题[J]．工程数学学报,2014,31(6):872-878．

Singularly perturbed boundary value problems for elliptic equations via the fixed point theorem

TAN Fang-fang,LIU Shu-de
(College of Mechanical and Electrical Engineering,Anhui Polytechnic University,Wuhu 241000,China)

Singularly perturbed boundary value problems for a class of semi-linear second-order elliptic equations are studied．The formal approximation of the problem is constructed by using the method of composite expansions,and the existence and asymptotic behavior of solutions are proved by Harten＇s fixed point theorem．

singular perturbation;boundary value problem;elliptic equations;the method of composite expansions;the fixed point theorem

O175．25

A

1672-2477(2015)04-0090-05

2015-03-10

国家自然科学基金资助项目(11301007)

谭芳芳(1979-),女,湖南祁东人,助教,硕士．