一个代数不等式及其应用

杨学枝

本文先给出一个十分有用的不等式即以下定理，并举例说明其应用.

定理 设x1，x2，…，xn；y1，y2，…，yn是两组任意实数，∑1≤i0，或∑1≤i0，记∑ni=1xi=x，∑ni=1yi=y，则

[∑ni=1xi（y-yi）]2=[∑ni=1yi（x-xi）]2≥

4∑1≤i

当且仅当x1y1=x2y2=…=xnyn时取等号.

证明 若∑1≤i

若∑1≤i0，∑1≤i0，原式等价于

∑ni=1xi（y-yi）=∑ni=1yi（x-xi）≥

2∑1≤i

下面我们来证明

∑ni=1xi（y-yi）≥2∑1≤i

由于

∑ni=1xi（y-yi）=∑ni=1xi·∑ni=1yi-∑ni=1xiyi≥

∑ni=1xi·∑ni=1yi-∑ni=1xiyi，

因此要证式①成立，只要证明

∑ni=1xi·∑ni=1yi-∑ni=1xiyi≥2∑1≤i

∑1≤i

即

∑ni=1xi·∑ni=1yi≥∑ni=1xiyi+2∑1≤i

∑1≤i

式②易证成立，事实上，应用柯西不等式，有

（∑ni=1xi·∑ni=1yi）2=（∑ni=1x2i+2∑1≤i

≥

（∑ni=1xiyi+2∑1≤i

由此得到

∑ni=1xi·∑ni=1yi≥∑ni=1xiyi+2∑1≤i

∑1≤i

≥∑ni=1xiyi+2∑1≤i

即得式②，于是式①成立，原命题获证.由证明过程可得当且仅当x1y1=x2y2=…=xnyn时，原式取等号.

在定理中，取n=3，得到以下

命题1 设λ，u，v，λ′，u′，v′∈R，且λu+λv+uv>0，或λ′u′+λ′v′+u′v′>0，则

[∑λ（u′+v′）]2=[∑λ′（u+v）]2≥4（∑uv）（∑u′v′），

当且仅当λλ′=uu′=vv′时取等号.

在定理中，取n=4，得到以下

命题2 设λ，u，v，w，λ′，u′，v′，w′∈R，且λu+λv+λw+uv+uw+vw>0，或λ′u′+λ′v′+λ′w′+u′v′+u′w′+v′w′>0，则

[∑λ（u′+v′+w′）]2=[∑λ′（u+v+w）]2

≥2（λu+λv+λw+uv+uw+vw）（λ′u′+λ′v′+λ′w′+u′v′+u′w′+v′w′），

当且仅当λλ′=uu′=vv′=ww′时取等号.

下面举一些例子说明以上定理和命题的应用（略去取等号条件的证明）.

例1 （自创题，1998.02.01）设λ，u，v，λ′，u′，v′∈R，且∑uv>0，则

[∑λλ′]2≥（∑uv）（2∑u′v′-∑λ′2），

当且仅当u+vλ′=v+λu′=λ+uv′时取等号.

证明 [∑λλ′]2=[12∑（-λ′+u′+v′）（u+v）]2

≥（∑uv）（∑（λ-u+v）（λ+u-v）（根据命题1中的不等式）

=（∑uv）（2∑u′v′-∑λ′2）.

例2 （自创题，1998.02.01）设λ，u，v，λ′，u′，v′∈R，且∑uv>0，则

∑（u+v）u′v′≤（u+v）∑uv（∑λ′）2，

当且仅当λ（u+v）λ′=u（v+λ）u′=v（λ+u）v′时取等号.

证明 根据命题1中的不等式，有

[∑λ′u+v（u+v）]2≥

4（∑uv）∑u′v′（v+λ）（λ+u），整理即得原式.

例3 （匹多不等式）△ABC与△A′B′C′边长分别为a，b，c和a′，b′，c′，面积分别为Δ与Δ′，则∑（-a2+b2+c2）a′2≥16ΔΔ′，

当且仅当△ABC∽△A′B′C′时取等号.

证明 在命题1中取λ=-a2+b2+c2，u=a2-b2+c2，v=a2+b2-c2，λ′=-a′2+

b′2+c′2，u′=a′2-b′2+c′2，v′=a′2+b′2-c′2，则∑uv=4Δ，∑u′v′=4Δ′，即得原式.

例4 （南京程灵老师提出）若△ABC与△A′B′C′边长分别为a，b，c和a′，b′，c′，面积分别为Δ与Δ′，则

∑（-a+b+c）a′≥43ΔΔ′

当且仅当△ABC与△A′B′C′均为正三角形时取等号.

证明 在命题1中取λ=-a+b+c，u=a-b+c，v=a+b-c， λ′=-a′+b′+c′，

u′=a′-b′+c′，v′=a′+b′-c′，得到

∑（-a+b+c）a′≥

∑（a-b+c）（a+b-c）·

∑（a′-b′+c′）（a′+b′-c′）

≥43（a+b+c）（-a+b+c）（a-b+c）（a+b-c）·

43（a′+b′+c′）（-a′+b′+c′）（a′-b′+c′）（a′+b′-c′）

=43ΔΔ′，

即得原式.

例5 （陕西安振平老师提出）若△ABC与△A′B′C′边长分别为a，b，c和a′，b′，c′，面积分别为Δ与Δ′，则

∑（a-b+c）（a+b-c）a′2≥16ΔΔ′

当且仅当a（-a+b+c）a′2=b（a-b+c）b′2=

c（a+b-c）c′2时取等号.

证明 在命题1中取λ=（a-b+c）（a+b-c），u=（a-b+c）（-a+b+c），v=（a+b

-c）（-a+b+c），λ′=-a′2+b′2+c′2，u′=a′2-b′2+c′2，v′=a′2+b′2

-c′2，则∑uv=4Δ，∑u′v′=4Δ′，即得原式.

注 注意到∑（a-b+c）（a+b-c）a′2=∑a（-a+b+c）（-a′2+b′2+c′2），因此，例3中的不等式又可以写成∑a（-a+b+c）（-a′2+b′2+c′2）≥16ΔΔ′.

例6 （自创题，1983.05.07）若△ABC与△A′B′C′边长分别为a，b，c和a′，b′，c′，面积分别为Δ与Δ′，则

∑a（-a+b+c）（a′-b′+c′）（a′+b′-c′）≥16ΔΔ′

当且仅当△ABC∽△A′B′C′时取等号.

证明 在命题1中取λ=（a-b+c）（a+b-c），u=（a-b+c）（-a+b+c），v=（a+b

-c）（-a+b+c），λ′=（a′-b′+c′）（a′+b′-c′），u′=（a′-b′+c′）（-a′+b′+c′），v′=（a′+

b′-c′）（-a′+b′+c′），则∑uv=4Δ，∑u′v′=4Δ′，即得原式.

例7 （自创题，1983.05.07）设△ABC三边长为BC=a，CA=b，AB=c，面积为Δ，P为△ABC内部或边界上一点，从P分别向三边BC、CA、AB所在直线作垂线，垂足分别为D、E、F，记PD=r1，PE=r2，PF=r3，则……