一个课本题根及其变式的探究

何洪标　蓝云波

人们都说木有本，水有源，题有根.要想脱离茫茫的题海，必须追根溯源.所谓题根，就是那些源于基础，又高于基础，提炼于解题实践，又能广泛应用于解题实践的结论、习题、例题、各类试题.在平时的解题训练中，若能重视题根及其变式的应用，总能达到举一反三、跳出题海并提高解题能力的功效.本文以课本中的一个著名题根为例，结合今年的高考题和模拟题谈谈它及其变式的应用，现分析如下.

1 课本题根及其应用

题根 （人教A版选修22教材第32页习题B组第1大题第3小题）利用函数的单调性，证明不等式ex>1+xx≠0.

分析 要证明不等式，常见的做法是作差或作商，然后通过构造函数，利用其最值证明不等式.结合此题，可用作差法.

证明 设f（x）=1+x-ex，x∈-∞，+∞，则f′（x）=1-ex，令f′（x）>0，得x<0，令f′（x）<0，得x>0.所以f（x）在-∞，0上单调递增，在0，+∞上单调递减.所以当x≠0时，f（x）x+1x≠0.

点评 本题难度虽不大，却是非常重要的不等式，在各类考试中经常考查，其重要性不亚于课本中的重要定义、定理、性质.

例1 （2015年湖北卷第22题第1问）求函数f（x）=1+x-ex的单调区间，并比较1+1nn与e的大小.

分析 利用本文的题根，并进行恰当赋值，即可得到所证不等式.

解析 f（x）的定义域为-∞，+∞，f′（x）=1-ex，令f′（x）>0，得x<0，令f′（x）<0，得x>0.所以f（x）的单调递增区间为-∞，0，单调递减区间为0，+∞.当x>0时，f（x）

点评 本题直接考查了课本的一个题根，体现出高考源于课本高于课本的原则.是课本题根的直接应用.

例2 （2015年广东卷）设a>1，函数f（x）=（1+x2）ex-a.

（Ⅰ）求f（x）的单调区间；

（Ⅱ）证明：f（x）在-∞，+∞上仅有一个零点；

（Ⅲ）若曲线y=f（x）在点P处的切线与x轴平行，且在点Mm，n处的切线与直线OP平行（O是坐标……