基于最小二乘法的测定金属电阻率实验数据处理

王鹏　张季谦　丁中俊

摘 要：本文以测定金属铝的电阻率实验为例，对实测数据进行线性变换处理，运用Origin8.0软件建立数学模型和相关系数检验， 采用最小二乘法计算金属铝的电阻率。计算结果表明，利用最小二乘法计算金属铝的电阻率准确可靠，误差仅为0.424%。上述方法也可以很好地应用于基础物理实验中，其他线性关系变量实验数据的分析与处理过程。

关键词：最小二乘法；金属电阻率；实验数据处理；线性拟合

中图分类号：G633.7 文献标识码：A 文章编号：1003-6148（2015）11-0059-3

1 引言

测定金属的电阻率是物理实验教学中一个重要的实验[1-4]。近年来，科研工作者对此实验进行了一系列的研究，包括测定金属电阻率的难点与考点[5]，实验教学模式的分析[6]、设计[7]与改进[8]，实验方案的优化与创新[9-12]，以及实验数据的线性处理与图像处理等。然而，应用最小二乘法处理“测定金属电阻率”实验数据的研究目前未见报道。

本文基于DISLab 测量与采集实验数据，运用Origin8.0软件建立其数学线性模型，得到其散点图，从而可以直观地观察到散点图呈直线型或曲线型。根据最小二乘法原理，对实验数据进行线性处理并进行相关性检验，拟合计算出金属铝的电阻率。实验计算结果表明，利用最小二乘法求解金属铝的电阻率准确可靠，相对误差较小。

2 实验模型与基本原理

2.1 测定金属电阻率的实验模型

本实验的依据是部分电路的欧姆定律和电阻定律：R=与ρ=。其中，U为金属两端电压，I为通过其电流，S和L分别为其横截面积与长度。将一定长度的金属铝丝Rx接入如图1所示的电路图中，采用伏安法测出其电阻R=。同时，测量出金属的长度L及直径D，从而计算出金属丝的电阻率ρ=。

图1 测定金属电阻率ρ电路图

闭合开关，调节变阻器，使电表有明显示数变化，数据采集器即可获得n组电压表和电流表相应的数据（Ui，Ii）。

2.2 最小二乘法原理

已知两变量为线性关系y=kx+b，实验获得其n组含有误差的数据（xi，yi）。若将这n组数据代入方程求解，则k、b之值无确定解。最小二乘法提供了一个求解的方法，其基本思想是拟合出一条“最接近”这n个点的直线。在这条拟合的直线上，各点相应的y 值与测量值对应纵坐标值之偏差的平方和最小。根据统计理论，参数k和b计算公式是：

k=（1）

b=（2）

2.3 相关系数γ

相关系数γ表示数据（xi，yi）相互联系的密切程度，以及拟合所得的线性方程的可靠程度。γ的计算公式如下：

γ=（3）

其中，γ的值在- 1～ + 1 之间。γ的绝对值越接近1，表明（xi，yi）相互联系越密切， 线性方程的可靠程度越高，线性越好。

3 最小二乘法拟合测定电阻率实测数据

当电压表的数值U从20 mV以ΔU=10 mV为步长增加到100 mV时，分别测量出对应电流表的数值I，实验数据如表1所示。其中，金属丝的长度L和直径d分别为0.35 mm与1.25 m。

表1 测定金属电阻率实验数据

首先，分别以U和I为横坐标和纵坐标，其满足线性函数关系I=U。对上述9组数据（Ui，Ii）进行线性回归分析，利用Origin8.0作图软件建立数学线性模型， 即散点图，如图2所示。

图2 U-I散点图

从图2可以看出，这些散点关系近似于直线。选择一条直线来表示U与I的关系， 即y=kx。根据这条直线的斜率k=，计算出金属铝的电阻率ρ=。

根据已知数据，n=9，=0.1632 A，=0.06 V，由公式（3）计算得到k=0.9997≈1。

γ的数值说明公式y=kx中，y与x，即I与U的相互联系密切程度和拟合所得的线性方程的可靠程度较高，表明实验数据（Ui，Ii）关系几乎是一条直线。

根据公式（1）与（2）计算得

k=2.72983，b=-5.55556×10-6。

则线性方程为y=2.71983x+5.55556×10-6。对应公式I=U，金属铝的电阻率ρ==2.818×10-8 Ω·m。而金属铝电阻率的理论值ρ理论=2.83×10-8 Ω·m，则实验结果相对误差为：

E==0.424%。

本实验中有一点值得注意：U与I的关系满足正比例函数y=kx，因此如果实验测量准确，（Ii，Ui）图像应该是一条通过坐标原点的直线。但最小二乘法线性拟合出的结果存在一个截距，且散点图左移而不通过坐标原点，原因是实验模型采用的是电流表外接，测量的电流为金属铝丝Rx和电压表的电流之和，即I=I+Iv。这种处理对斜率计算结果不会造成影响，由斜率求得的金属电阻率仍可靠准确。

4 结 论

在基础物理实验的数据处理（下转第62页）（上接第60页）中，直线拟合是一个极其重要的数据处理手段。采用线性回归分析与最小二乘法，对测定金属电阻率的实验数据进行线性拟合处理。通过图像斜率，计算了金属铝的电阻率，相对误差约为0.424%。利用这种方法和原理，可以有效的提高数据处理的准确性，在线性关系变量的实际求解中有着极其重要的作用。

参考文献：

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[5]邵巍. A Study of the Method of Measuring the Conductivity Metal[J].计量与测试技术，2012，39（12）：43—45.

[6]邓锂强. 金属电阻及电阻率研究的实验设计[J]. 实验科学与技术，2012，10（4）：23—26.

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[9]王鹏. Origin8.0软件在实验数据处理中的应用——以“测定电源的电动势和内阻”作研究[J].物理通报，2014（12）：79—81.

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[12]王鹏.最小二乘法在测定电源的电动势和内阻实验数据处理中的应用[J]. 物理通报，2014（8）：64—66.

（栏目编辑 王柏庐）