关于二阶导数的若干新积分不等式

罗　强，　李成岳，　孙　鹏

(1.中央民族大学理学院, 北京100081；　2. 北京师范大学良乡附属中学, 北京102488)

关于二阶导数的若干新积分不等式

罗强1，李成岳1，孙鹏2

(1.中央民族大学理学院, 北京100081；2. 北京师范大学良乡附属中学, 北京102488)

[摘要]根据Cauchy-Schwarz不等式,得到了C2([a,b])空间中函数的二阶导数的若干新积分不等式.

[关键词]Cauchy-Schwarz不等式；Hölder不等式；积分不等式

1引言

在文献[1]和[3]中, 下列著名问题：

设f(x)∈C2([a,b])满足边界条件f(a)=f(b)=0,f′(a)=1,f″(b)=0, 求证：

(*)

得到了讨论. 文献[2]利用Cauchy-Schwarz不等式, 对这个问题给出了一个解答. 受[1]-[3]的启发, 我们在Cauchy-Schwarz不等式的基础上, 建立了一系列关于二阶导数的新的积分不等式, 进一步又把这个结果推广到关于任意阶导数的积分不等式. 另外, 我们还利用同样的技巧和Hölder不等式建立了关于二阶导数的任意次幂函数的积分不等式.

2关于|f″(x)|2的一般形式的积分不等式

文献[2]对上述问题(*)给出了如下证明.

证对f,g∈C2([a,b]), g″≠0时, 由Cauchy-Schwarz不等式得到

(1)

取g(x)=(x-a)(x-b)2, 则

g(a)=g(b)=0,g′(a)=(b-a)2,g′(b)=0,

g″(x)=2[3x-(a+2b)].

(2)

计算得

(3)

由(2)得

=4(b-a).

(4)

联合(1),(3),(4)得到

[4(b-a)]2≤4(b-a)3|f(x)3|2dx，

分析这个证明过程, 考虑选取另外的辅助函数g(x), 则也可建立一系列新的积分不等式：

(i) 取g(x)=(x-a)2(x-b), 则有

g(a)=g(b)=0,g′(a)=0,g′(b)=(b-a)2,

g″(x)=2[3x-(b+2a)].

(5)

(6)

=2(2b-2a)f′(b)-2(a-b)f′(a)-6(f(b)-f(a))

=2(b-a)(2f′(b)+f′(a))-6(f(b)-f(a)).

(7)

于是由(1),(6),(7)得到下列不等式

(ii) 取g(x)=(x-a)3, 则

g(a)=0,g(b)=(b-a)3,g′(a)=0,g′(b)=3(b-a)2,

g″(x)=6(x-a).

(8)

由(8)计算得

(9)

=6(b-a)f′(b)-6(f(b)-f(a)).

(10)

由(1),(9),(10)得到下列不等式

(iii) 取g(x)=(x-b)3，

g(a)=(a-b)3,g(b)=0,g′(a)=3(a-b)2,g′(b)=0,g″(x)=6(x-b).

(11)

由(11)计算得

=-12(a-b)3=12(b-a)3,

(12)

=6(b-a)f′(a)-6(f(b)-f(a)).

(13)

由(1),(12),(13)得到下列不等式

3关于|f(m)(x)|2的若干积分不等式(m≥1)

当f,g∈C(m)([a,b])时, 根据Cauchy-Schwarz不等式, 有

(14)

以m=3为例, 此时若取g(x)为不同的4次多项式, 则也可以建立一系列不等式. 如

取g(x)=(x-a)(x-b)3, 则

g′(x)=(x-b)3+3(x-a)(x-b)2,

g″(x)=6(x-b)2+6(x-a)(x-b),

g‴(x)=6(4x-3b-a),

g(4)(x)=24.

(15)

(16)

再计算

=6(b-a)f″(b)+18(b-a)-24(f′(b)-f′(a)).

(17)

根据(14),(16),(17)整理得

另外, 考虑m=1这个最简单的情形.根据Cauchy-Schwarz不等式, 有

(18)

取g(x)=(x-a)(x-b), 则

g′(x)=2x-b-a,

(19)

(20)

再计算

(21)

由(18),(20),(21)得

特别地，若f(a)=f(b)=0, 则有

4关于|f″(x)|p的积分不等式(p>1)

(22)

g(a)=g(b)=0,g′(a)=0,g′(b)=(b-a)2,g″(x)=2[3x-(a+2b)],

令c=a+2b，有

g″(x)=2(3x-c).

(23)

(24)

把c=a+2b带入, 根据(24)计算得

=2(b-a)f′(b)-4(a-b)f′(a)-6(f(b)-f(a)).

(25)

由(22),(24),(25)整理得

则

[参考文献]……