直线与圆锥曲线围成定面积其弦上定比例点的轨迹

舒阳春

(武汉科技大学国际学院，武汉430081)

直线与圆锥曲线围成定面积其弦上定比例点的轨迹

舒阳春

(武汉科技大学国际学院，武汉430081)

[摘要]通过一个大学数学竞赛题的推广，证明了一直线与圆锥曲线所围成定面积时，其弦上定比例点的轨迹与原圆锥曲线是同一类型的曲线.

[关键词]圆锥曲线； 定面积； 轨迹

本文讨论的内容来源于全国大学生数学竞赛(第四届全国大学生数学竞赛决赛(专业组)试卷，题1，2013)，原题是这样的：

设A为一正数，直线L与双曲线x2-y2=2(x>0)所围成的面积为A,

(i) 上述L被双曲线所截线段的中点的轨迹为双曲线.

我们发现上述问题的结论可以推到任何双曲线及椭圆和抛物线的情况并且不仅对于弦的中点的轨迹是与原曲线同类型，而且得到了对于定比例点的轨迹也都具有与原圆锥曲线相同的类型.本文主要借助于解析几何中的仿射变换把所讨论的曲线化为标准型从而再利用微积分的方法得到这个推广的结果，细述如下：

定理设Γ是一平面圆锥曲线(圆，抛物线，椭圆之一)，Γ的一般形式为

Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0(常数A,B,C不全为0)

(1)

设直线L与曲线Γ相交于两个点P,Q并位于Γ 一个焦点的同一侧. 用S(L) 表示曲线Γ与线段PQ所围成的面积，R是线段PQ上的点并满足PR/RQ=(常数).如果L移动时，S(L) 是一个常数，则R的轨迹与Γ是同一类型的圆锥曲线.

下面二个引理是解析几何中熟知的结果(参见文献[1])

引理1通过正则变换可使由(1)式定义的Γ 具有下列形式之一：

(i) y=px2，

(2)

其中a,b,p是非零常数.

引理2正交变换保持圆锥曲线，直线不变，距离不变；仿……