线性流形的性质

张建刚，　申　冉

(1.上海师范大学数学系，上海200234;　2.东华大学理学院，上海201620)

线性流形的性质

张建刚1，申冉2

(1.上海师范大学数学系，上海200234;2.东华大学理学院，上海201620)

[摘要]线性流形作为n维数组向量空间的子集合， 与线性方程组的解和n维数组向量空间的子空间有着密切的联系.通过讨论线性流形的一些基本性质，研究其与线性方程组的解，线性子空间的关系，从而加深对这一概念的理解.

[关键词]线性流形； 线性方程组； 子空间

1引言

线性方程组是线性代数的一个核心内容.众所周知，齐次线性方程组AmnX=0的解是n维数组向量空间的一个线性子空间.而非齐次线性方程组AmnX=b(≠0)的解集合不是一个子空间，是n维数组向量空间的一个线性流形.对于线性流形的研究，可以帮助我们进一步了解线性方程组解的结构.

在本文中，首先给出n维数组空间的线性流形一个整体刻画.然后研究线性流形和线性子空间的关系，线性流形之间的运算，以及它们和相应的线性方程组的解的关系.上述工作，有助于我们理解方程组解的结构和性质，同时，加深对于线性流形的理解和认知.

文中所有术语，可参见文献[1]和[2].

2线性流形的性质

定义2.1[1]设V是数域K上n维数组向量空间(以下简称n维数组空间)，Y是向量空间V的非空子集. 对任意的α,β∈Y，若

L={kα+lβ|k+l=1,k,l∈K}⊆Y，

则称Y是向量空间V的一个线性流形.

n维数组空间V的线性子空间显然是V上的线性流形，{0}和V称为平凡的线性流形，若线性流形Y不等于{0}和V，称为非平凡的线性流……