三个五阶非线性方程的精确解

钟鸣华，　那仁满都拉，　斯仁道尔吉

(内蒙古师范大学数学科学学院,呼和浩特010022)

三个五阶非线性方程的精确解

钟鸣华，那仁满都拉，斯仁道尔吉

(内蒙古师范大学数学科学学院,呼和浩特010022)

[摘要]为了得到三个五阶非线性方程的精确解，本文通过假设行波解将三个五阶非线性方程化为常微分方程并借助辅助方程法和Mathematica软件对其求解,最终获得了一系列精确解.

[关键词]五阶非线性方程; 辅助方程法; 精确解

1引言

非线性偏微分方程在现实生活以及生物、物理等邻域中有着重要而广泛的应用,因此非线性偏微分方程的求解问题就成为非线性科学的前沿研究课题之一.到目前为止，数学和物理工作者在求解非线性偏微分方程的领域积累了大量的经验并先后提出了一系列求解方法,这些方法在许多具体的方程上都得到了应用,如Jacobi椭圆函数法[1]、齐次平衡法[2]、完全近似法[3]、试探函数法[4]、双曲函数展开法[5]、约化摄动法[6]、F-展开法[7]、Exp函数法[8]、辅助方程法[9]等都在具体的文献中被引用,并作为主要求解方法.本文运用辅助方程法精确求解文献[10]中提出的如下三个方程

(1)

(2)

(3)

并且得到一些新的精确解.

2方法介绍

考虑如下形式的非线性偏微分方程

N(t,x,u,ut,ux,uxx,…)=0,

(4)

假设其行波解为

u(x,t)=u(ξ),ξ=kx-vt，

(5)

其中k和v是待定常数,则方程(4)可转化为下面形式的常微分方程

F(u,u′,u″,u‴,…)=0,

(6)

其中“′”是函数u关于ξ的导数.

设方程(6)有如下形式的解

(7)

其中φ(ξ)满足辅助方程

φ′(ξ)2=b0+b1φ(ξ)+b2φ(ξ)2+b3φ(ξ)3+b4φ(ξ)4,

(8)

这里n是根据方程中最高阶导数项和最高次幂的非线性项……