数学解题中谨防题目的“误导”

管立芬

数学题目对解题思路的“误导”一般有四种情况：

一、题型的“误导”

例1 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，BA1与对角面BB1D1D所成的角为（ ）.

A.30° B.45° C.60° D.90°

分析 这道题经常出现在各种资料中，而且某市还将它作为一道高中毕业会考题.给出的标准答案是A，许多考生也选A，实际上这是一道错题，角不确定，没有答案.为什么命题人和不少考生没有发现问题都选A呢？这就是“选择题”这一题型的“误导”.平时学习中得到经验：选择题可以通过取特例找到正确选项.由于正方体是长方体的特例，故此题把长方体看成正方体也应成立，从而选得A.

由此也说明，选择题是可以用特例排除选择支，但一定要注意，特例不成立时一定是错误的，成立时却不一定正确.

二、图形的“误导”

例2 如图1，直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=AA1=a，则点A到平面A1BC的距离是 .

分析 由于求点到平面的距离一般有两种方法，一是直接做出点到面的垂线，再构造三角形求垂线段的长；二是利用棱锥体积变化来求解.此题图是直三棱柱，许多学生想到用方法二：设点A到平面A1BC的距离是h，即三棱锥A-A1BC的高为h，由VA-A1BC=VA1-ABC，即 1 3 S△A1BC·h= 1 3 S△ABC·AA1，求h.

设BC=b，则S△A1BC= 1 2 BC·A1C= 2 2 ab，

S△ABC= 1 2 ab，∴h= 2 2 a.

做完后发现结果与BC长无关，且有一定的计算量，可能这不是最佳方法.确实，从以上解法也看出，过A做AH⊥A1C于H，∵A1A⊥BC，AC⊥BC，∴BC⊥面A1C，∴面A1BC⊥面A1C，∴AH⊥面A1BC，故AH即A到面A1BC的距离.

在Rt△A1AC中，AH= AC·A1A A1C = a2 2 a = 2 2 a.

出现以上“小题大作”的原因，一是解题心理作怪，总认为间接法，有技巧性的思维方法总是先进些，快捷些；二是图的“误导”，“误导”我们的思路进入第二种方法的樊篱.

图1 图2

例3 某汽车运输公司，购买一批毫华大客车投……