从高考题看平面向量数量积的考察类型及求解之道

王玉清

平面向量的数量积是平面向量的重要内容，教学大纲要求“掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角 度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件.”在江苏高考考试说明中也是C级要求，与三角函数、解析几何、数列、平面几何等紧密相连.一般难度比较大.纵观近几年的高考试题，主要有以下几种类型和求解方法.

一、简单的数量积问题定义求解

平面向量的数量积的定义是：已知两个非零向量 a与b 它们的夹角为θ，则数量积为 |a|·|b| cosθ.利用数量积的定义找向量模和夹角，此法称为定义法.

例1 （2011年江苏）已知 e1，e2 是夹角为 2 3 π的两个单位向量， a=e1-2e2，b= k e 1+ e 2，若 a·b =0，则实数k的值为 .

解析 ∵ e 1· e 2=| e 1|·| e 2|cos 2 3 π=- 1 2 .

∴ a · b =（ e 1-2 e 2）·（k e 1+ e 2）=k e 21+（1-2k） e 1· e 2-2 e 22=2k- 5 2 =0即k= 5 4 .

评注 本题主要考查向量的数量积兼顾向量数量积的运算律.其实利用定义求向量的数量积关键是求出两个向量的模及其夹角，这里面两个向量的夹角容易弄错，切记是通过平移使两个向量共起点时所形成的角是两个向量的夹角.

二、几何图形中的数量积问题求解

几何图形中的数量积求解问题一般有三个方向可考虑：一是利用平面向量基本定理找到一组合适的基底将某个向量进行线性转化后再求解，此法称为基底法；二是利用坐标计算，此法称为坐标法.三是利用平面向量数量积的几何意义，直接用投影的知识解题，或者利用几何图形性质解题，称为几何法.

1.基底法

基底法，即合理选择一组基底（一般选取模和夹角均已知的……