基于光控压电混合驱动悬臂梁独立模态控制

第一作者姜晶女，博士,副教授，1972年4月生

基于光控压电混合驱动悬臂梁独立模态控制

姜晶1，邓宗全1，岳洪浩1，王雷1，TZOU Horn-sen2

(1.哈尔滨工业大学机电工程学院，哈尔滨150001；2. 浙江大学航空航天学院，杭州310027)

摘要：提出利用镧改性锆钛酸铅(PLZT)的光电效应，将PLZT作为电动势源来驱动压电作动器，从而实现光控板壳结构的振动控制。基于光控压电等效电学模型建立了光控压电混合驱动的数学模型，并进行了实验验证。为了实现光控悬臂梁的独立模态控制，针对悬臂梁结构，设计了正交模态传感器/作动器表面电极形状函数。提出PLZT与压电作动器正/反接控制的激励策略，并结合速度反馈定光强控制的控制算法，利用Newmark-β法对不同光照强度下悬臂梁的动态响应进行了数值仿真分析。分析结果证明了所设计的模态传感器/作动器及针对光控压电混合驱动提出的控制策略的正确性。

关键词：光控压电混合驱动；悬臂梁；独立模态控制

基金项目：国家自然科学基金(51105095，51175103)；哈尔滨工业大学科研创新基金(HIT.NSRIF.2011111)

收稿日期：2014-01-20修改稿收到日期：2014-04-03

中图分类号:V214

文献标志码：A

DOI:10.13465/j.cnki.jvs.2015.07.010

Abstract:The photonic control on flexible shell using hybrid photovoltaic/piezoelectric actuation mechanism was proposed. Based on the photovoltaic effect of PLZT, it was used as photovoltaic generator to drive piezoelectric actuator. The constitutive model of this novel actuation mechanism was established based on its equivalent electrical model, and was verified by experiments. In order to realize the independent modal control on cantilever beam using hybrid photovoltaic/piezoelectric actuation mechanism, orthogonal sensors were designed, and the ON/OFF control of positive/negative connection between PLZT and piezoelectric actuator was proposed combining the use of constant light control algorithm based on velocity feedback. Dynamic modal control equations of the cantilever beam laminated with orthogonal actuators based on this novel photonic control method was numerically solved using Newmark-β method. The simulation results show that the orthogonal sensors/actuators designed and the control schemes proposed for this photonic method can effectively realize photonic independent modal control on cantilever beam.

Independent modal control on cantilever beam based on hybrid photovoltaic/piezoelectric actuation mechanism

JIANGJing1,DENGZong-quan1,YUEHong-hao1,WANGLei1,TZOUHorn-sen2(1. School of Mechatronics Engineering, Harbin Institute of Technology, Harbin 150001,China；2. School of Aeronautics and Astronautics, Zhejiang University, Hangzhou 310027,China)

Key words:hybrid photovoltaic/piezoelectric actuation mechanism; cantilever beam; independent modal control

由于光控作动器与控制光源间无需线路连接，因此可以避免当采用传统作动器(如压电作动器、电致伸缩作动器、形状记忆合金等)时，出现电磁干扰而影响传送信号的质量。同时由于其特有的能量转换机制，无需高压及强磁发生设备，可以实现轻质、小尺寸的应用，因此光控空间薄壁结构的振动控制符合航天轻质化发展的趋势，具有重大的理论研究价值。在对铁电晶体的光伏特性的研究中发现当利用高频率的紫外光照射镧改性锆钛酸铅(PLZT)陶瓷表面时，会使得陶瓷表面分子团的束缚电子获得了光子的能量而变成自由电子，这时处于短路状态的铁电晶体，会出现稳态电流，晶体变成光伏电动势源。而当处于开路状态的晶体受到光照时，自由电子在剩余极化强度的作用下，在极化的两极间将产生高达103-105V/cm的电压。PLZT本身又具有压电材料的特性，因此在光电效应及逆压电效应的共同作用下，会产生光致伸缩效应。PLZT产生的光电压可作为非接触式的电动势源，PLZT的光致伸缩应变可作为驱动应变用于微驱动系统中。Tzou等[1]开始研究将PLZT光致伸缩作动器粘贴于薄壳结构的表面，利用PLZT在光照下产生的光致伸缩应变实现对板壳结构的非接触式振动控制。Liu等[2]研究了光致伸缩作动器对矩形板的控制。Shih等[3-5]在这方面做了大量的研究，他们对光电层合粱、板、开口圆柱壳及结构复杂的半球壳、抛物壳分别开展了研究，通过模态展开技术对通过作动器的空间布局提高结构的模态控制效果做了深入的研究。Sun等[6]基于电压源模型建立了PLZT光致伸缩作动器的本构模型，并基于此研究了悬壁梁结构的形状控制。Wang等[7-8]对利用PLZT光致伸缩作动器对开口圆柱壳、半球壳及抛物壳的主动振动控制进行了理论与实验研究。Zheng等[9-10]建立了PLZT光致伸缩作动器在多能场耦合作用下的有限元模型，并通过数值仿真结果证明了其在结构的形状及振动控制的应用前景。但这些研究均直接将PLZT作为作动器粘贴在被控结构表面，由于PLZT在光照下只能沿其剩余极化方向产生电场，因此只能产生伸长(或缩短)的应变，对结构只能进行半周期控制。针对这一问题，Shih等[11]提出将PLZT作动器分别粘贴在结构的上、下表面，通过切换照射不同表面的PLZT作动器的光源来实现对结构产生相反的控制力矩，但这种方法只能改变作动器产生的控制力矩的方向，却不能改变薄膜力的方向，而对于某些结构(如开口圆柱壳、圆球壳等)，薄膜力占主导。He等[12]提出利用多层PLZT作动器解决这一问题，虽然提出的多层作动器构型能实现对结构进行全周期控制，但作动器的厚度势必对被控结构的质量和刚度产生影响。而压电作动器可以通过对其施加相反的电压信号使其产生两个相反方向的驱动应变，且响应速度快。聚偏二氟乙烯(PVDF)压电薄膜易于裁剪成任意形状，可以通过对其电极表面形状函数的设计实现对结构预期的模态控制效果[13-14]。因此本文提出利用PLZT的光电效应，将PLZT作为电动势源来驱动层合于悬臂梁表面的PVDF压电作动器，通过对光控压电混合驱动这种新型光控方式的研究，避免了利用PLZT作动器实现无线远程控制时的单向驱动性的问题，从而实现将PLZT的非接触激励特性与压电作动器的易层合、响应速度快等优势互补。

本文建立了光控压电混合驱动下作动器产生驱动应变随光照时间动态响应的本构模型并对其进行了实验验证；为实现悬臂梁结构的独立模态控制，推导了悬臂梁结构正交模态传感器/作动器表面电极形状函数；针对光控压电混合驱动提出了合理的控制策略，并对悬臂梁结构各阶模态控制前后的动态响应进行了数值仿真分析。

1光控压电混合驱动的本构方程

由于PLZT本身的光电效应是随光照时间动态响应的过程，因此压电作动器在此光电压的驱动下产生的光致应变也是随光照时间变化的。本节将建立压电作动器在PLZT光生电压的作用下产生的驱动应变随光照时间动态响应的数学模型。

光控压电混合驱动的原理如图1所示，将PLZT的两电极表面与层合在板壳结构表面上的压电作动器的两电极表面用导线连接，PLZT在紫外光的照射下，其两电极表面将产生自由电荷，这些自由电荷将通过导线传输到压电作动器的两电极表面上，从而使压电作动器两电极表面间产生电压，在此电压的作用下，压电作动器会对板壳结构产生控制力及控制力矩。

图1　光控压电混合驱动原理 Fig.1 Hybrid photovoltaic/piezoelectric actuation mechanism

图2　光控压电混合驱动的等效电路模型 Fig.2 Equivalent electrical model for hybrid photovoltaic/piezoelectricactuation mechanism

基于电流源模型，光控压电混合驱动的等效电路模型如图2所示。

PLZT与压电作动器并联在一起，这时电路中总的等效电容及等效电阻分别为：

C=Cp+Ca

(1)

(2)

式中Cp、Ca分别为PLZT及压电作动器的电容；Rp、Ra分别为PLZT及压电作动器的等效光电阻。

若采用冷光源对PLZT进行照射，即忽略热电效应及热弹性效应的影响，PLZT施加在PVDF两电极间的驱动电压为：

(3)

则基于逆压电效应，压电作动器在此光电压的驱动下产生的驱动应变为：

(4)

式中d3i为压电作动器的压电应变常数；De为压电作动器两电极表面间距离。

2光控压电混合驱动的实验研究

为了验证本文提出的光控压电混合驱动这种新型光控方式的可行性，以及基于等效电路模型所建立的本构方程的正确性，建立了实验测试平台，如图3所示。实验采用的压电作动器为PVDF压电薄膜，利用导线将PLZT两电极表面分别与PVDF压电作动器两电极表面相连接，采用橡胶黏合剂 Rubber Cement将PVDF作动器粘贴于柔性悬臂梁上。实验采用LED-UV光源对PLZT进行照射，这时PVDF作动器在PLZT产生的光电压的作用下对悬臂梁结构产生控制力矩，使其弯曲。实验通过利用Keyence激光位移传感器LK-G30测量悬臂梁自由端位移，来测量PVDF压电作动器在光生电压的作用下产生的应变随光照时间的动态响应。

理论上悬臂梁在PVDF产生的力矩的作用下，其自由端横向位移[3]为：

(5)

式中La、ba、ha分别为压电作动器长度、宽度及厚度；L、b、h分别为悬臂梁的长度、宽度及厚度；Ib为悬臂梁的惯性力矩，Ib=bh3/12；Y、Ya分别为梁及压电作动器的杨氏模量。

图3　光控压电混合驱动下PVDF作动器 产生应变的测试平台 Fig.3 Experimental platform for measuring PVDF actuator induced strain

实验所采用的梁及PVDF的参数如表1所示。PLZT实验样本为PLZT(0-1)：10 mm×5 mm×2 mm，极化方向沿5 mm方向，其相对介电常数为1 860。

PLZT的等效光电流及光电阻与光照强度及材料本身的极化条件等因素有关，实验测得所采用PLZT样本的等效光电阻及光电流与光强的关系式为：ip=0.567 3×10-11×I0.890 1，Rp=8.993×1012×I-0.486 4，将其代入式(5)，可得到PLZT在不同光照强度的紫外光照射下，悬臂梁端点的位移。当光强为2 kW/m2、4 kW/m2时，悬臂梁端点位移随光照时间变化的理论计算与实验结果的对比曲线如图4所示。

表1　PVDF作动器及梁的参数

图4　悬臂梁自由端位移理论计算 与实验结果对比曲线 Fig.4 Experimental and theoretical displacements of free end of cantilever beam

对比结果表明理论与实验结果基本吻合，尤其是在光照开始阶段吻合的更好，由于利用光控压电混合驱动进行板壳结构的振动控制时，利用的是作动器在光照开始阶段产生的驱动应变，因此可以证明所建立的数学模型能够准确地描述压电作动器在PLZT光生电压的驱动下产生的驱动应变随光照时间的动态响应。

3悬臂梁结构的正交模态传感器/作动器

通过对压电作动器表面电极形状函数的设计，可以实现对结构指定的某一阶或某几阶模态的传感及控制。本小节针对悬臂梁结构设计了正交模态传感器及作动器以实现其独立模态控制。

3.1悬臂梁结构的正交模态作动器

将压电作动器表面电极裁剪成一定形状并粘贴于悬臂梁表面如图5所示。

图5　层合压电作动器的悬臂梁示意图 Fig.5 Flexible cantilever beam laminated with shaped actuator

在光电压的作用下，压电作动器产生的单位长度的控制力矩与其形状及位置有关，即：

[us(y-f1(x))-us(y-f2(x))]

(6)

若只考虑梁的横向振动，其动力学方程为[15]：

(7)

利用模态展开技术将系统动力学响应转换到模态坐标系，可表示为：

(8)

式中ηk为第k阶模态的模态参与因子；U3k为第k阶模态的振型函数。利用模态正交性可以消去所有m≠k的模态，可得到系统的第k阶模态方程为：

(9)

式中ζk为模态阻尼比，并且

(10)

等式右边作动器对梁结构第k阶模态产生的模态控制力为：

(11)

式中

(12)

W(x)=f1(x)-f2(x)=bU″3k(x)

(13)

式中b为梁的宽度。

则悬臂梁各阶正交模态作动器表面电极形状如图6所示。

将式(6)代入式(11)可得：

(14)

根据式(14)，当作动器各相邻区域极化方向相反时，作动器只能对悬臂梁的指定的某一阶模态有控制力，而对其它阶模态均无控制效果，可以实现对其独立模态控制。

图6　悬臂梁前四阶模态作动器 Fig.6 Shaped orthogonal actuator for the first four modes of cantilever beam

3.2悬臂梁结构的正交模态传感器

假设压电传感器的表面电极形状函数为Ws(x)，粘贴于梁结构的压电传感器产生的模态传感信号的表达式为[15]：

(15)

图7　悬臂梁前三阶正交模态传感器电极表面形状 Fig.7 Shaped orthogonal sensors for the first three modes of cantilever beam

由于悬臂梁应变函数的正交性，传感器只对第k阶模态有传感信号，代入上式得：

值得注意的是，为了实现所设计的形状函数，传感器各相邻区域(图中剖面线方向相反的区域极化方向相反)。

4悬臂梁独立模态控制数值仿真

本小节将提出基于光控压电混合驱动实现悬臂梁独立模态控制的主动控制策略，并通过对悬臂梁动态响应的仿真分析验证所提出的控制策略的有效性。

4.1光控压电混合驱动激励策略

考虑到PVDF压电作动器与PLZT光致伸缩作动器不同，它可以产生伸长及缩短两个方向的应变，因此提出通过切换PLZT与PVDF的连接方向来实现作动器产生的控制力矩的正/负切换。同时可以利用PVDF压电薄膜制作模态传感器并粘贴于梁的另一表面。以二阶模态为例，所采用的激励策略如图8所示。

图8　光控压电混合驱动下激励策略示意图 Fig.8 Schematic of control scheme for the hybrid photovoltaic/piezoelectric actuation mechanism

将压电正交模态作动器粘贴在悬臂梁的上表面，作动器相邻区域极化方向相反，由于实现独立模态控制时作动器各个区域的激励电压需一致，故需将作动器各区域的电极表面导通。使各区域在相同的电压信号的作用下产生相反的控制力/力矩。作动器的电极表面通过导线、逻辑开关与PLZT的两极导通。将压电正交模态传感器粘贴于梁的下表面。正交压电传感器用于监测结构指定的某一阶模态的变化。利用信号处理模块将压电传感器发出的电荷信号放大并转化为电压信号，同时完成过滤高频及低频噪声、去掉传感信号中工频50 Hz及其倍频干扰等功能。利用控制器中编写的程序完成对传感信号进行分析、处理、对数据进行保存，并向连接PVDF与PLZT的逻辑开关控制电路发出控制信号，从而控制PLZT与压电正交模态作动器之间的正/反接。当符合控制程序设定的停止条件时，控制器发出控制信号切断PLZT与PVDF作动器之间的开/关电路。控制时紫外光源一直照射PLZT，直至振动控制结束时，由控制器发出控制信号将光源关闭，从而完成整个振动控制。考虑到PLZT与PVDF在进行正/反接切换时会带来电荷的损失，使作动器的驱动电压下降，由一组PLZT在不同的半周期里与PVDF连接，所需PLZT的数量可以由悬臂梁动态响应的仿真结果来决定。

4.2压电作动器产生的模态控制力

仿真时采用树脂材料制成的梁，其材料及尺寸参数为：杨氏模量Y=5.6×109 N/m2，质量密度ρ=1.198×103 kg/m3，L×b×h=0.12 m×0.008 m×0.000 43 m。采用PVDF薄膜作为压电作动器，其相对介电常数为10，采用的PLZT的尺寸及电学参数与上一小节相同。考虑到PLZT与PVDF连接后其电压响应速度变慢，在控制开始前预先对PLZT进行光照，这样当PLZT与PVDF连接时， 由于导线的电阻很小，可以近似认为PVDF两电极表面间的电压值瞬时达到一定值，并在此基础上随着光照时间而增大。仿真时采用定光强速度反馈控制算法，将式(4)代入式(14)可得当采用冷光源照射PLZT时，在光控压电混合驱动下，PVDF作动器产生的模态控制力的表达式为：

(17)

式中E0为PVDF作动器的初始电压。假设PLZT预先光照至接近其饱和电压，当其与PVDF作动器连接时，可以近似认为PLZT在光照下产生的自由电荷分配给两个并联的电容器，则PVDF作动器的初始电压可近似表达为：

E0=ipRpCp/(Cp+Ca)

(18)

考虑到第一个半周期的PLZT与PVDF连接时，PVDF表面无电荷，而从第二个PLZT开始，与PVDF连接时由于需实现PVDF两电极表面电压的正/负切换会造成一定的电荷损失，因此设第一个PLZT的光照强度为I，而后面的PLZT的光照强度为：

I′=G′I

(19)

式中G′为光照强度增益。通过确定光照强度增益来实现每半个周期压电作动器的初始电压是一定的。对悬臂梁的动态响应进行数值分析计算时，假设悬臂梁的初始模态位移为5×10-4m，其前两阶模态的模态阻尼比均为3%，仿真时令悬臂梁的振幅为5×10-5m时将PLZT与PVDF的开关电路全部切断，即去掉作动器的控制力。PLZT在不同光照强度的紫外光照射下(I=2kW/m2，I=6 kW/m2)，悬臂梁的前两阶压电正交模态作动器产生的模态控制力曲线分别如图9、图10所示。计算结果表明，由于作动器产生的模态控制力对光照时间响应较慢，在每半个周期里作动器产生的模态控制力基本保持不变。且光照强度越大，由于PLZT产生的光生电压赿高，压电作动器产生的模态控制力越大。根据仿真结果，对于悬臂梁的前两阶模态，当光强I=2 kW/m2时，将振幅降至最大振幅10%时，一阶模态需10片PLZT轮流为压电作动器施加电压信号，二阶模态需19片。而当光照强度为I=6 kW/m2时，一阶需8片PLZT，二阶模态需18片。因此达到相同的控制效果时，光照强度越大，所需的PLZT的数目则越少，而振动的频率赿高，需要的PLZT的数目就越多。

图9 一阶压电正交模态作动器产生的模态控制力Fig.9ModalcontrolforceinducedbyPiezoelectricorthogonalactuatorforthefirstmode图10 二阶压电正交模态作动器产生的模态控制力Fig.10ModalcontrolforceinducedbyPiezoelectricorthogonalactuatorforthesecondmode图11 悬臂梁一阶模态控制前后位移响应(I=2kW/m2)Fig.11Thefirstmodalcontrolledanduncontrolleddisplacementresponseofcantileverbeam(I=2kW/m2)

4.3悬臂梁动态响应的数值仿真分析

将压电作动器产生的模态控制力表达式(17)代入悬臂梁的模态控制方程式(9)，并利用Newmark-β法对其进行求解，可以得到悬臂梁横向位移随时间的动态响应。当PLZT在不同光照强度的紫外光照射下(I=2 kW/m2，I=6 kW/m2)，悬臂梁的一阶模态位移控制前后响应曲线分别如图11、图12所示。

在不同光照强度下，悬臂梁的二阶模态位移控制前后响应曲线分别如图13、图14所示。

对悬臂梁动态响应的仿真结果表明，本文针对光控压电混合驱动所设计的控制策略可以有效地抑制悬臂梁的振动。计算结果表明，随着光照强度的增大，由于PLZT的光生电压会变大，使压电正交模态作动器会产生更大的模态控制力，因此控制效果更好。当光强为I=6 kW/m2时，悬臂梁一阶模态作动器产生的最大模态控制力是光强为I=2 kW/m2时的1.56倍，模态阻尼比增大了3.44%，悬臂梁二阶模态作动器产生的模态控制力在这两种光强下的比值为1.584。模态阻尼比增大了0.17%。

图12 悬臂梁一阶模态控制前后位移响应(I=6kW/m2)Fig.12Thefirstmodalcontrolledanduncontrolleddisplacementresponseofcantileverbeam(I=6kW/m2)图13 悬臂梁二阶模态控制前后位移响应(I=2kW/m2)Fig.13Thesecondmodalcontrolledanduncontrolleddisplacementresponseofcantileverbeam(I=2kW/m2)图14 悬臂梁二阶模态控制前后位移响应(I=6kW/m2)Fig.14Thesecondmodalcontrolledanduncontrolleddisplacementresponseofcantileverbeam(I=6kW/m2)

5结论

本文提出利用PLZT在紫外光照射下产生的光生电压驱动压电作动器的光控压电混合驱动方式，建立了光控压电混合驱动下，压电作动器产生的驱动应变随光照时间动态响应的本构方程。通过设计层合于悬臂梁的压电传感器/作动器表面电极形状函数，利用光控压电混合驱动这种新型光控方式实现了对悬臂梁的独立模态控制。主要得出以下结论：

(1)在PLZT产生的光电压的驱动下，压电作动器产生的驱动应变是随光照时间动态响应的，其响应速度及饱和应变与PLZT及压电作动器的尺寸参数、介电常数、等效光电阻、光电流及光照强度等参数等有关。

(2)本文针对光控压电混合驱动所提出的PLZT与PVDF的正/反接控制的激励策略，并结合速度反馈定光强控制的控制算法能有效地实现悬臂梁的独立模态控制，并且光照强度越大，作动器产生的模态控制力越大，控制效果越好。

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