等量同种电荷的中垂线上电场强度的分布

等量同种电荷的中垂线上电场强度的分布*

吴军

(东台市时堰中学江苏 盐城224211)

*江苏省中小学教学研究课题(2013年度第10期)“普通高中青年物理教师专业发展共同体建设的实践研究”阶段性成果之一，课题编号：2013JK10-L154

摘 要：等量同种电荷中垂线上的电场分布是高考一个热点问题，本文用高中学生所能掌握的方法从定性和定量两个角度得出从连线中点沿中垂线向外延伸场强先变大后变小的结论，并将此结论推广至均匀带电圆环．

关键词：等量同种电荷中垂线电场分布

作者简介：吴军(1975-)，男，中教高级，主要从事高中物理教学．

收稿日期：(2014-12-03)

电场是一种看不见、摸不着的特殊物质，我们可以用电场线来形象地描述电场的方向和强弱．等量同种电荷所形成的电场比较复杂，对于高中生而言用电场线来描述电场比较简捷．现行高中教材[1]和一些参考书[2]中提供的电场线分布图如图1所示，另一些参考书[3，4]提供的电场线分布图如图2所示．

图1

图2

从图1和图2中可以清晰地看出两点电荷连线上电场的强弱变化情况．两幅图所展示的空间范围不同，图1是图2的一部分，两点电荷的中垂线上特别是远离连线中点的地方,电场强弱的分布图2表现得更为完整(如图中虚线所示)．这种特殊的两点电荷连线和其中垂线上电场的分布是高中阶段考查的重点也是高考的热点，因此高中教学中很有必要将其中垂线上的电场分布讨论清楚．

1等量同种电荷中垂线上电场分布

以两个等量带正电的点电荷为例，其带电量为+Q，两点电荷A,B间距为2l，AB中点为O，M为AB中垂线上的任一点，AM和AB的夹角为θ．

(1)

同理可知点电荷B在M处产生的场强的大小

EB=EA

(2)

EB和EA的方向如图3所示．

图3

利用叠加原理可得点电荷A，B在M处产生的场强为

(3)

EM方向如图3所示．

1．1定性分析其场强大小的变化

当M位于A，B连线中点O时，θ=0，则EM=0；当M位于A，B连线的中垂线上且距O点无穷远处时，θ→90°，则EM→0；当M位于中垂线上其他任意位置时，则EM≠0．

1．2利用均值不等式定量分析

均值不等式

当且仅当a1=a2=a3=…=an时取等号．

式(3)左右两边同时平方得

(4)

1．3结论

综上分析，可得如下结论：

(1)等量同种电荷连线中点处的场强为零；在其中垂线上从连线中点向外延伸，场强先变大后变小，无穷远处场强为零．由此可知文献[3,4]中所提供的图2更完整些．

(2)等量正电荷的中垂线上场强不为零的地方场强方向沿中垂线背离连线中点方向，等量负电荷的中垂线上场强不为零的地方场强方向沿中垂线向着连线中点方向．

2等量同种电荷中垂线上电场的应用

【例1】(2013年高考天津卷)两个带等量正电的点电荷，固定在图中P,Q两点，MN为PQ连线的中垂线，交PQ于O点，A点为MN上的一点(如图4)．一带负电的试探电荷q，从A点由静止释放，只在静电力作用下运动．取无限远处的电势为零，则

A．q由A向O的运动是匀加速直线运动

B．q由A向O运动的过程电势能逐渐减小

C．q运动到O点时的动能最大

D．q运动到O点时电势能为零

解析：由等量同种电荷中垂线上的电场分布知,从O点沿中垂线向外场强先增大后减小，电荷从A向O运动其加速度可能先增大后减小，也可能一直减小，故选项A错．等量同种正电荷中垂线上电场方向沿中垂线背离O点，电荷从A向O运动过程中所受电场力由A指向O，电场力做正功，则电势能逐渐减小，动能逐渐增加，到达O点时动能最大，故选项B，C正确．O点场强为零，但电势不为零，由Ep=qφ知，q在O点的电势能不为零，故选项D错误．

图4

【例2】带负电的粒子在电场中仅受电场力的作用，做匀速圆周运动，关于该电场下列说法中正确的是

A．一定是一个正点电荷形成的电场

B．可能是一个负点电荷形成的电场

C．可能是两个等量正点电荷形成的电场

D．可能是两个等量异种电荷形成的电场

解析：带负电的粒子可在正点电荷形成的电场中绕正点荷做匀速圆周运动，如氢原子模型．等量同种电荷形成的电场的中垂面上(除O点外)是以O点为圆心的辐向电场，且到O点距离相等的点场强大小相等．等量正电荷中垂面电场方向背离圆心O，等量负电场中垂面电场方向向着圆心O．故负电粒子仅受电场力作用时其在中垂面受力如图5所示，电场力提供向心力，粒子在中垂面上以O为圆心做匀速圆周运动．故选项C正确．

图5

【例3】若在例2中考虑粒子的重力，则粒子能否在等量正点电荷形成的电场中做匀速圆周运动？

解析：若考虑重力作用，则粒子不能在等量正点电荷形成电场的中垂面上做匀速圆周运动．但在与中垂面平行的面上以中垂线与面的交点O′为圆心的圆上电场强度大小相等，方向是以中垂线为轴的圆锥的母线方向(图2为其在竖直平面内的剖面图)．在中垂面上方且与中垂面平行的面上若带负电的粒子所受电场力的竖直分量与重力平衡，水平分量提供向心力，受力如图6所示，则可使粒子以O′为圆心做匀速圆周运动．

图6

3均匀带电圆环轴线上电场强度的分布

一半径为R的圆环，均匀带电，电量为+Q，如图7所示，讨论其轴线上的场强分布．

图7

在圆环上关于圆心O点对称的两点A和B各取一段Δl(Δl≪R)长度，可将A，B看作等量同种点电荷，其带电量均为ΔQ．A，B点电荷在轴线上任一点产生的电场强度，方向沿轴线向外，由式(3)可知其大小为

(5)

圆环上的其他各点与其对称的点均可构成等量同种电荷，所以环上所带电荷在其轴线上所产生的电场为

(6)

由此可知,均匀带电圆环的圆心处场强为零，轴线上其他地方的电场方向沿轴线向外，由环心向外延伸场强先变大后变小．

【例4】(2014年高考江苏卷)如图8所示，一圆环上均匀分布着正电荷，x轴垂直于环面且过圆心O．下列关于x轴上的电场强度和电势的说法中正确的是

A．O点的电场强度为零，电势最低

B．O点的电场强度为零，电势最高

C．从O点沿x轴正方向，电场强度减小，电势升高

D．从O点沿x轴正方向，电场强度增大，电势降低

图8

解析：圆环圆心O点场强为零，在其轴线上O点左侧电场方向沿x轴负方向，O点右侧电场方向沿x轴正方向．所以从O点沿x轴正方向电势降低，O点电势最高．从O点沿x轴正方向场强先增大后减小．故选项B正确．

【例5】(2015届盐城市高三期中考试)如图9所示，带正电的金属圆环竖直放置，AB是轴线上相对于圆心的对称点．某时刻一个电子从A沿轴线向右运动至B点，此过程中电子运动的v-t图像可能是图10的哪一幅

图9

图10

解析：带正电的圆环轴线上电场方向从圆心O沿轴线向外，电子在圆环的左侧所受电场力向右，电子做加速运动；电子在圆环的右侧所受电场力向左，电子做减速运动．从圆心O向外场强先变大后变小，若最大值在A点右侧则电子从A向O运动的加速度先增大后减小，故选项A正确．若最大值在A点的左侧则电子从A向O运动的加速度一直减小．若在A点时速度为零则选项B正确；若在A点速度不为零则选项C正确．

参 考 文 献

1人民教育出版社．普通高中课程标准实验教科书·物理(选修3-1)(第3版)．北京：人民教育出版社，2010.13

2赵凯华,陈熙谋．新概念物理教程·电磁学(第二版)．北京：高等教育出版社，2006.11

3程守洙，江之永．普通物理学·第二册(第五版)．北京：高等教育出版社，1998.29

4梁灿彬，秦光戎，梁竹健．普通物理学教程·电磁学(第二版)．北京：高等教育出版社，2004.26