抓住每个质疑 加深概念认知

吕建林

笔者在很多参考资料中都遇到这样的问题，（a.6）c-（c·a）6与a垂直，正确吗？

对于这个问题，我们大多数同学的解法是：由（（a·b）c-（c·a）b）·a=（a·b）·（c·a）-（c·a）·（b·a）=0，得出这两个向量垂直的结论.这反映了大部分同学在解决数学问题时常见的弊病，单纯记忆结论而不重视结论成立的条件.很多同学在遇到向量是否垂直的问题时，采用的方法都是将这两个向量进行数量积运算，观察结果是否为零，进而得出垂直或不垂直的结论.

在一次课堂教学中，笔者又一次遇到这个问题，我首先向班上同学明确指出，这个判断是错误的，因为，两个非零向量的数量积为零，才能得出夹角为直角的结论.这里，如果向量a或（a·b）c-（c·a）b是零向量，由教材《选修2-1》第92页的结论可知：零向量与任一向量的数量积为0.虽然此时数量积为零，但是零向量与任意向量是共线关系，不是垂直的.

有一个同学争论说，零向量的方向是任意的，那么它可以与一个向量成任意的角度，所以也可以认为是垂直的，结论没有错.教室里一下子喧闹了起来，显然这样的说法让很多人更困惑了.

此时，笔者重申，“零向量与任意向量共线”，这是苏教版高中数学《选修2-1》教材第82页上的规定.而共线向量即平行向量，所以零向量与任意向量平行，不是垂直关系.但是，“规定”这个说法显然不能让我班的孩子们满意.

课后，我仔细回想这个问题，我想到了垂直的根源是两个向量所成的角是直角，那么，能否从两个向量的夹角的定义上去寻找突破口呢？果然，教材《选修2 -1》第91页上给出了两个向量的夹角的概念：a，b是空间两个非零向量，过空间任意一点0，作OA=a，OB=b，则∠AOB叫做向量a与向量b的夹角.概念明确要求两向量为非零向量，

第二天上课，笔者告诉学生，我们研究两个向量的垂直关系，不能忘了垂直的判定基于对向量夹角的定义，而两向量只有在非零的前提下，我们才研究它们的夹角的大小.所以，零向量与其他向量之间没有夹角的说法，至少教材上没有提及.而教材上只规定零向量与任意向量共线，就回避了夹角的大小问题.同时，我们也知道，两个非零向量共线时，由他们同向或者反向可知它们的夹角为零度或180°，而零向量向量是任意的，所以，不能确定它与另一向量方向相同还是方向相反，也就无法确定夹角是多少.因此，“零向量与某向量垂直”的说法是站不住脚的.

课堂上，我们在遇到一些概念疑问的时候，不妨追究一下，也许能使概念的认知进一步深化，多个概念之间也能建立更为紧密的联系，有助于我们形成知识网络，提升认识水平.