连续的分布函数与连续型随机变量的关系

桂 春 燕

(安庆师范学院 数学与计算科学学院，安徽 安庆 246133)



连续的分布函数与连续型随机变量的关系

桂 春 燕

(安庆师范学院 数学与计算科学学院，安徽 安庆 246133)

摘要：通过实例探讨了由分布函数的连续性不一定可以得到对应的随机变量是连续型的，这有利于学生更深入的掌握连续型随机变量的分布函数的特性，从而更好的应用于实际。

关键词：连续型随机变量；分布函数；连续函数

概率论中随机变量的分布函数是一个非常重要的知识点，我们已经熟知离散型随机变量X的分布函数F(x)一定是非连续函数， 且F(x)应满足

(1)

其中{xn}为离散型随机变量X的至多可列个取值；反之若分布函数F(x)满足(1)，且{xn}的取值至多可列个，则对应的随机变量是离散型的。本文就学生在学习连续型随机变量分布函数的过程中经常产生的一种错误观点“分布函数连续的随机变量是连续型随机变量”，通过列举反例来进行解释说明，以便于学生更好的理解随机变量的分布函数。首先我们来看一些预备知识。

定义1[1]设X是一个随机变量，x∈R，则称F(x)=P(X≤x)为随机变量X的分布函数。

由定义1，分布函数F(x)显然满足：

(1)F(x)单调不减，即若x1,x2∈R且x1

(2)0≤F(x)≤1且F(-∞)=0,F(+∞)=1；

定义2[1]如果对于随机变量X的分布函数F(x)，存在非负可积函数f(x)，对任意x∈R有

则称X为连续型随机变量，f(x)称为随机变量X的概率密度函数。

1连续的分布函数与连续型随机变量的关系

定理连续型随机变量的分布函数是连续函数。

证明由定义2易知连续型随机变量的分布函数是积分上限函数，从而是连续函数。……