分类讨论思想应用的四大特征

姬梁飞

（广东省深圳市龙岗区布吉中学，广东深圳518112）

分类讨论思想应用的四大特征

姬梁飞

（广东省深圳市龙岗区布吉中学，广东深圳518112）

分类讨论思想方法在高考综合题中应用情况表现出一定的特色以及规律，其主要体现了四个基本的特征，即整体简约性、标准统一性、不重不漏的完备性以及逐级递次性。

分类讨论；思想方法；高考数学

一、整体简约性

在应用分类讨论思想方法时，需要保证解题的完整性与简约性。分类讨论思想是人的思维活动的一种表达形式，它要求整个过程具有完整而又缜密，周详而又简约的特性。这既可以体现数学思想逻辑推理的完整性，又呈现了数学对完美境界不懈追求的理念。

例1-1（2012·广东·理）若a＜1，其中集合A=｛x∈R|x＞0|｝，集合B=｛x∈R|2x2-3x（a+1）+6a＞0｝，D=A∩B.

（1）求关于集合D（采用区间表示形式）；

（2）求f（x）=2x3-3x2（a+1）+6ax在区间D内的极值点情况.

剖析：（1）欲求集合B，先求判别式△=9a2-30a+9=(3a-9) (3a-1)，然后以判别式为标准进行分类讨论：

（ii）当判别式△＞0，记φ(x)=2x2-3(1+a)x+6a，其中a＜1。令φ(x)=0，则其对称轴方程为又φ(0)=6a，若φ(0)=0，则a=0。因此结合判别式、对称轴方程及a=0，又可以分为以下3种情况讨论。

（2）求导得f′(x)=6(x-1)(x-a)，令f′(x)=0，则有x=1，与x=a。

（i）当a∈(-∞，0]时，则φ(a)=a(3-a)≤0，且φ(1)=3a-1＜0.故此时函数f（x)在区间D内不存在极值点。

间D内的极值点有两个极值点，即极小值点为x=1，极大值点为x=a。

评注：这道题从其命制直至完整的解答过程，都展现了整体性与简约性的特征，不论是对参数a所划分的区间，还是对其中需要讨论各种情形的判断、分析都是一丝不苟，保证了整个试题既完整又简洁。

二、标准统一性

这一特征要求在运用分类讨论思想方法时需要注意划分依据，所分种类要保持统一性。在把一个大问题进行划分为若干个小问题的时候，需要遵循划分的标准与口径相互统一，不但要保证划分依据的科学性，还要确保这个依据标准的一致性。

例2-2（2014·湖北·理）若函数f(x)是定义域在实数上的奇函数，若x≥0时，f(x)=(|x-a2|+|x-2a2|-3a2)，若∀x∈R，f(x-1)≤f(x)，那么关于实数a的取值范围是？

剖析：当x≥0时，先把此时的函数改写成分段函数的形式，即

再根据函数的奇偶性做出函数的图象，由函数的图象可以分两种情况：

（i）函数f(x)在区间(-∞,-2a2)，(-2a2,+∞)上是单调递增的，又由x-1≤x，所以不等式f(x-1)≤f(x)在区间(-∞,-2a2)，(-2a2, +∞)上是恒成立的。

（ii）设点A(-2a2,a2)，E(2a2,+∞)，因为函数f(x)在区间(-2a2, 2a2)上是单调不增的，如果f(x-1)≤f(x)成立的话，只须A与E这两点的距离（即横坐标之差的绝对值）小于或等于1即可。因此，4a2-(-2a2)≤1，从而，故所求的实数a的取值范围是

点评：此题就是依照函数不同的单调区间为标准，从而将解答过程划分为两种不同的情况进行分类讨论的。

三、不漏不重的完备性

这一特征主要侧重于分类讨论思想过程的完备性，即一方面需要把复杂的问题分割为若干个简单易行的小问题，另一方面又要求分类的各种情形保证恰当与缜密。这需要在运用分类讨论思想方法的时候所划分各种情形既不重复，也不出现丢失遗漏的现象，并且确保各种分类情况都是相互独立的。这就需要高中数学教师在日常教学活动中不断夯实学生的数学基本功，培养严谨的数学思维习惯以及良好的数学修养。

（一）保证分类情况不重复

（1）当x≥0时，f(x)≤0，求参数λ的最小值；

（2）若数列｛an｝的通项公式为证明：

（i）当λ=0时，则有g(x)=x，f(x)=ln(1+x)-.求导得，f′(x)

因此函数f(x)是增函数，故f(x)≥f(0)=0。

（ii）当λ＜0时，则有g′(x)=-2λx-2λ+1＞0.因此函数f(x)是增函数，故f(x)≥f(0)。

时，f′(x)＜0所以函数f(x)在x≥0时是减函数，故f(x)≥f(0)=0。综上讨论可知，当满足题设条件时，则有λmax=。

点评：由于题设并没有限制参变量λ的取值范围，所以结合具体解题情况将参变量λ分成了四种情况，即λ＜0，λ=0， 0＜λ＜，以及λ≥.从而保证分类的完全性。

（二）保证分类情况不遗漏

例3-4（2010·北京·理）若f(x)=ln(1+x)-x+

（1）若k=2时，问y=f(x)在点（1，f(1)）处的切线方程：

（2）求函数f(x)的单调区间.

剖析：考虑到本研究的范围，故直接探析第二个问题，函数f(x)的定义域为x∈(-1,+∞).求导得.因为参数k的大小未知，所以需要展开讨论。

根据文献资料，在试卷抽查调研此题解答情况时，发现许多考生要么忘记考虑函数自变量系数为零的情形，要么忘记分析k=1的情形，这就致使了许多考生在解答本题时都明显出现了上面提到的遗漏现象。

四、逐级递次性

某些分类讨论经过一次讨论便可以完成，但有些问题在进行第一层分类讨论之后，仍然不能彻底解决问题。这时就需要把上一层分类中的子项作为下一层分类中的母项，进行二次分类讨论。因此，这类分类讨论往往涉及双层或多层分类的现象，即在第一层分类讨论中又嵌套了第二层分类讨论，以此类推，直到问题彻底解决为止。同时在分类讨论过程中需要保证分层不能越级，按照每一层的级别依次进行分析，其中每个层次的讨论都要分明、清晰。

（2）当g(x)=x2-2bx+4.其中若时，如果对任意x1∈ (0,2)，存在x2∈[1,2]，从而使得f(x1)≥g(x2)，则问实数b的取值范围.

剖析：（1）函数f(x)的定义域x＞0，求导得，f′(x)=-记辅助函数φ(x)=ax2-x-a+1，其中x＞0。由于涉及参数a，需要分类讨论：

（i）当a=0时，此时φ(x)=-x+1.其中x＞0。

①若x＞1时，则有φ(x)＜0.因此f′(x)＞0，所以函数f(x)是单调递增的；

②若0＜x＜1时，则有φ(x)＞0.因此f′(x)＜0，所以函数f(x)是单调递减的。

（ii）当a≠0时，令φ(x)=ax2-x-a+1=0，解得，x′=1，或者由a≠0,以及题设条件可以将参数变量a划分几个分界区间（分界点）

1）若x＞1时，则有φ(x)＜0.因此f′(x)＞0，所以函数f(x)是单调递增的。

2）若0＜x＜1时，则有φ(x)＞0.因此f′(x)＜0，所以函数f(x)是单调递减的。

在此区间上需要以参数变量b的值大小展开讨论：

（i）当b＞2时，此时结合二次函数g(x)的图象特征，则有Y=g(2)=-4b+8。令-4b+8≤f(1)，即，解得

（ii）当1≤b≤2时，此时结合二次函数g(x)的图象特征，则有Y=g(2)=-b2+4。又因为-b2+4≥0,因此在满足题目的条件下，函数g(x)的最小值不可能存在不大于函数f(x)的最小值-，故舍去此种情况。

（iii）当b＜1时，此时结合二次函数g(x)的图象特征，则有Y=g(1)=-2b+5。.又因为-2b+5＞0，因此在满足题目的条件下，函数g(x)的最小值不可能存在不大于函数f(x)的最小值故舍去此种情况。

评论：正如此题所呈现的分析过程，在解答此题时需要展开多层分类讨论环节才能彻底的完成题目要求，单一的分类讨论已经不足以解答此题了。在高考数学最后一道综合题中往往具有类似的情形，譬如2014年高考数学新课标II卷中的第21题，其中题目中涉及关于函数g(x)=f(2x)-4bf (x)的分类讨论，当其中g(x)＞0，以及当x＞0时，然后需要求出参数b的最大值，所以解答这个问题就需要展开双层的分类讨论了。

［1］张晓静.分类讨论思想在解题中的应用[J].数理化学习：高中版，2010（8）.

［2］张方东.高中数学分类讨论思想的应用[J].亚太教育，2015（8）.

［责任编辑张翼翔］

G63

A

1673-9132（2016）34-0156-03

10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2016.34.089

姬梁飞，男，硕士，主要研究方向：基础数学教育。