双层位势问题新的基本解法公式

郭 璇，张耀明

（山东理工大学理学院，山东淄博255049）

双层位势问题新的基本解法公式

郭 璇，张耀明

（山东理工大学理学院，山东淄博255049）

基于单层位势和叠加原理的传统的基本解法，在求解某些有限域问题时，虚边界位置的选择会受到一定的限制，在求解某些无限域问题时可能会无解。为此提出了基于双层位势和叠加原理的改进的基本解法，避免了传统基本解法的不足。该方法适合求解任何边值问题，其特点是有限域问题和无限域问题的基本解法公式具有不同的形式。

基本解法；双层位势；位势问题

基本解法（MFS）是由Kupradze和Aleksidze［1］在20世纪60年代提出的一种著名的边界型数值方法。基本解法的优点是不需要划分网格或者单元，也不需要边界积分，同时避免了边界元法中的奇异性和几乎奇异性，具有程序设计简单、计算速度快、计算精度高等优点，至今已被广泛应用于各个领域，取得了很好的效果［2－8］。然而，基于单层位势和叠加原理的传统的基本解法具有一定的局限性，如在求解某些有限域问题时，虚边界位置的选择会受到一定的限制，在求解某些无限域问题时可能无解。此外，基本解法的数值解的精度与虚拟边界的选取位置密切相关，距离太近无法避免基本解的奇异性，距离太大有时可能导致线性系统矩阵高度病态，不能求得问题的有效解。虚、实边界之间的“距离选择”一直是一个未能很好解决的问题，一般靠研究者的经验和误差实验进行判断。针对这些情况，文献［9－10］分析了距离选择与问题解的性态之间的关系，结果表明：当问题的解可以解析开拓时，虚、实边界之间的“最大距离”不受限制。文献［11］借鉴等价间接边界积分方程的形式改进了基于单层位势基本解法公式，并对基本解法线性系统矩阵进行了规则化，应用于薄体结构问题的研究，但没有从理论上分析方法的合理性。本文从理论和数值实验两方面对传统基本解法的局限性进行了分析，并在此基础上提出了基于双层位势的基本解法。

1 边值问题

本文假定Ω是R2中的一个有界域，Ωc是其开补，Γ＝∂Ω是它们共同的边界。有界域Ω上的边值问题是［9］

无限域Ωc上的边值问题是

式（1）～（2）中：▽2为拉普拉斯算子；n为边界外法线；Γu，Γq分别是u和∂u／∂n已知的边界。二维位势问题控制方程的基本解为

式中x＝（x1，x2），y＝（y1，y2）分别为场点和源点，为两点之间的距离。

2 传统的基本解法的局限性

传统基本解法的公式是

这里l＝l（y）是在点y处的任一方向。

笔者发现：传统的基本解法式（4）不具有普遍适用性。对某些内边值问题，虚边界（虚源位置）的选择受到一定的限制，对于某些外边值问题，基本解法失效。

考虑一个内边值问题：

这里Br（0）是以坐标原点为中心、半径为r＜1的圆域，∂Br（0）是Br（0）的边界。显然问题（5）的解析解是u（x）＝x1＋x2＋1，于是u（0）＝1。现在用基本解式（4）求解问题（5）。假设所选的虚源节点xj（j＝1，…，n）位于单位圆周∂B1上，那么对于基本解法式（4），无论｛aj｝取何值，总有uMFS（0）＝0，因此对于任意的r＜1，相应的边值问题（5）的解总不能由基本解式（4）求得，表明虚边界的选择受到一定的限制。

数值结果也表明了这一点。在应用传统基本解式（4）求解问题（5）时，取r＝1／2，选择44个均布的虚源点位于单位圆周上。表1给出了部分边界节点上边界通量∂u／∂n的数值结果，表2给出了内点温度的数值结果。从表1和表2可看出：无论是内点计算，还是边界点计算，结果都不正确，验证了前面的理论分析。

表1 边界法向通量的数值结果

表2 内点温度的数值结果

现在考虑如下外边值问题

例如，考虑如下边值问题

这里B1（0）是中心在原点、半径为1的圆域，是其边界

在应用传统基本解式（4）求解问题（7）时，44个虚源点均布在半径为0.5的圆周上。表3给出了部分边界节点上边界通量∂u／∂n的数值结果，表4给出了内点温度的数值结果。从表3和表4可看出：内点和边界点的数值结果都不正确，验证了前面的理论分析。

表3 内点温度的数值结果

表4 边界法向通量的数值结果

3 基于双层位势的基本解法

为了避免传统基本解法的不足，本文提出基于双层位势的基本解法。对于内边值问题（1），基本解法公式是

现在应用基于双层位势的基本解法式（8）求解问题（5），仍取r＝1／2。同样地，选择44个虚源点均布于单位圆周∂B1（0）上。表5给出了内点温度的数值结果，表6给出了部分边界点上的法向通量∂u／∂n的数值结果。从表5和表6可以看出：无论是内点温度的数值结果还是边界量的数值结果都达到了很高的精度。这表明：基本解式（8）完全避免了传统的基本解式（4）的弊病。

对于外边值问题（2），基于双层位势的基本解法公式是

现在应用基本解法式（8）来求解问题（3）。同样地，选择44个虚源点均布于半径为0.5的圆周上。表7给出了内点温度的数值结果，表8给出了部分边界点上的法向通量∂u／∂n的数值结果。从表7和表8可以看出：无论是内点温度的数值结果还是边界量的数值结果都达到了很高的精度。这表明：基本解式（8）完全地避免了传统的基本解式（4）的弊病。

表5 内点温度的数值结果

表6 边界法向通量的数值结果

表7 内点温度的数值结果

表8 边界法向通量的数值结果

4 结束语

传统的基本解法基于单层位势和叠加原理，具有一定局限性。本文从理论和数值计算两方面进行了分析，提出了基于双层位势和叠加原理的基本解法，可适合于求解任何边值问题。

［1］ KUPRADZE V D，ALEKSIDZE M A.The method of functiona1 equations for the approximate solution of certain boundary value prob1ems［J］.USSR Comput.Math.Math.Phys，1964（4）：82－126.

［2］ FAIRWEATHERG，KARAGEORGHISA.The method of fundamenal solutions for elliptic boundary value problems［J］.Adv Comput Math 1998（9）：69－95.

［3］ POULLIKKASA，KARAGEORGHIS A，Georgiou G.Methods of fundamental solutions for harmonic and biharmonic boundary value problems［J］.Comput.Mech，1998，21：416－423.

［4］ GOLBERGM A，CHEN CS.The method of fundamental solutions for potential，Helmholtz and diffusion problems.Boundary integral methods：numerical and mathematical aspects［M］.Boston：WIT Press and Computational Mechanics Publications，1999.

［5］ KITAGAWA T.On the numerical stability of the method of fundamental solution applied to the Dirichlet problem［J］.Jpn JAppl Math，1988（5）：123－133.

［6］ GEORGE S A F，YOUSSEF F R.The method of fundamental solutions applied to3D elasticity problems using a continuous collocation scheme［J］.Engineering Analysis with boundary elements，2009，33：330－341.

［7］ BOSELLIF D，OBRIST L，KLEISER.A multilayer method of fundamental solutions for Stokes flow problems［J］.Journal of Computational Physics，2012，231：6139－6158.

［8］ GUIMARAES S，TELLES JC F.The method of fundamental solutions for fracture mechanics-Reissner’s plate application［J］.Engineering Analysis with boundary elements，2009，33：1152－1160.

［9］ 孙焕纯.无奇异边界元法［M］.大连：大连理工大学出版社，1999.

［10］张耀明，孙焕纯，杨家新.虚边界元法的理论分析［J］.计算力学学报，2000，17（1）：56－62.

［11］王发杰，张耀明，公颜鹏.改进的基本解法在薄体各向异性位势Cauchy问题中的应用［J］.工程力学，2016，32（2）：18－24.

（责任编辑陈 艳）

A New Method of Fundamental Solution Formulation to Double Layer Potential Problems

GUO Xuan，ZHANG Yao-ming

（School of Mathematics，Shandong University of Technology，Zibo 255049，China）

The conventional method of fundamental solution（MFS），based on the single layer potential and the superposition principle，has many shortcomings，for instance，for special interior problems its fictitious boundary location may be limited and for certain exterior problems it may fail.In this paper，a new method of fundamental solution formulation，which is built on the double layer potential and the superposition principle，is developed.The method avoids some disadvantages of the traditional method of fundamental solution and thus is suitable for solving any boundary value problems.

method of fundamental solution（MFS）；double layer potential；potential problems

O241.8

A

1674－8425（2016）12－0165－06

10.3969／j.issn.1674－8425（z）.2016.12.026

2016－05－27

山东省自然科学基金重点资助项目（ZR2010AZ003）

郭璇（1992—），女，硕士研究生，主要从事科学计算与力学研究，E-mail：m18369972890＠163.com。

郭璇，张耀明.双层位势问题新的基本解法公式［J］.重庆理工大学学报（自然科学），2016（12）：165－170.< class="emphasis_bold">Citationformat：

format：GUO Xuan，ZHANG Yao-ming.A New Method of Fundamental Solution Formulation to Double Layer Potential Problems［J］.Journal of Chongqing University of Technology（Natural Science），2016（12）：165－170.