水－应力作用下软岩破坏面倾角的概率分析*

易成城刘 镇③周翠英

（①中山大学工学院 广州 510006）

（②中山大学岩土工程与信息技术研究中心 广州 510275）

（③中山大学海洋学院 广州 510275）

水－应力作用下软岩破坏面倾角的概率分析*

易成城①②刘 镇①②③周翠英①②

（①中山大学工学院 广州 510006）

（②中山大学岩土工程与信息技术研究中心 广州 510275）

（③中山大学海洋学院 广州 510275）

破坏面倾角，即破裂面与最大主应力夹角，是进行岩体工程加固设计的重要依据，也是工程安全预警的基础。岩体赋存于自然环境中，其破坏面倾角受应力、结构面和水等条件的影响，这样，使得水－应力作用下其破坏面的倾角本身带有一定的不确定性，特别是对于软弱岩体。通常用Mohr-coulomb强度准则得到的破坏面倾角为45°＋φ／2，是一个定值；实际上岩石破坏面倾角非定值，而是存在一个范围。因而有必要研究在水－应力作用下岩石破坏面倾角问题。本文针对华南红层典型软岩－粉砂质泥岩在水－应力作用下的破坏问题，首先从概率分析角度，利用岩石微裂隙的破坏概率分布函数，得到软岩破坏面倾角表达式；并利用TAW-100水－应力耦合岩石细观力学伺服三轴试验系统开展软岩在水同时作为赋存环境和围压时的三轴压缩试验，得到其在0和1MPa围压时破坏面倾角范围为50.3°～80.2°；将该破坏面倾角和Mohr-Coulomb强度准则得到的破坏面倾角值与实验结果进行对比，发现本文所建立的破坏概率方法与实验结果更为接近，表明本文方法有较好的合理可靠性。

软岩 水－应力作用 三轴压缩试验 破坏面倾角 概率分析

0 引 言

软岩是一种受水作用影响强烈的岩石，特别是红层软岩，其遇水后力学性质迅速劣化（周翠英等，2005），容易造成重大灾害。而其破坏面倾角的大小和方向是认识软岩灾变机制、工程设计与加固的重要依据，也是工程安全预警的基础。软岩受所赋存地质环境中的应力、结构面和水等条件的影响，使得水－应力作用下其破坏面倾角带有一定的不确定性，因此，研究软岩在水－应力作用下的破坏面倾角，对研究软岩的变形破坏过程和工程设计与预警具有重要意义。

目前，软岩破坏面倾角的研究多依照岩石力学的剪切破坏研究进行，大体包括试验和理论分析两类方法。试验研究是软岩破坏面倾角研究的首要方法，能够基础性地反映软岩的变形破坏过程；而理论计算研究能够为软岩的变形破坏起到辅助分析的作用（王学滨等，2003；周翠英等，2005）。试验研究方面，Florian et al.（2012）对页岩进行快速三轴压缩试验，研究其破坏面倾角和围压的关系。X R et al.（2013）对富含石英的砂岩进行真三轴压缩试验，考虑其破坏面倾角与与破坏应力和偏应力状态参数之间的关系。Nasseri et al.（1997）等开展页岩三轴试验，研究了页岩的破坏形式和其层理面倾角与围压对形式破坏的影响。鲁涛等（2011）对砂岩进行了单轴、三轴压缩试验，得出了不同浸泡水压下的破坏面倾角。苏承东等（2014）对红砂岩进行了单轴、三轴压缩试验，得到其破裂角为52.5°～66.6°，并与莫尔－库仑等强度准则进行了对比。肖桃李等（2013）考虑结构面的影响，对高强度类岩石进行了三轴压缩试验，得到其强度特征和破坏面倾角关系。理论研究方面，Mohr-Coulomb强度准则的应用最为广泛（Harkness，1972）。胡小荣等（2003）基于双剪理论分析研究了三轴压缩下岩石的破坏面角度。郭东明等（2011）对不同倾角组合下煤岩的强度和破坏机制进行研究，考虑其对破坏面和破坏强度的影响。Mahendra et al.（2011）对岩石的莫尔－库仑准则在非线性的三轴强度情况进行修正，对其破坏强度和破坏面进行了研究。Mojtaba et al.（2015）对各向异性岩体的滑动和非滑动破坏进行研究，考虑破坏面的情况对破坏准则进行了修改。Luc et al.（2012）采用离散单元法对岩石的破坏机制及其破坏面倾角进行研究。Louis et al.（2013）对预先存在共面缺陷的岩石进行研究，分析其破坏面倾角和裂纹长度对其破坏的影响。Mohamed et al.（2014）在考虑岩石的各向异性条件下对岩石的霍克－布朗破坏准则进行简化，对岩石的破坏及其破坏面进行了研究。

以上分析可知，已有关于破坏面倾角的理论研究上主要集中在脆性岩石上，而关于软岩破坏面倾角的研究尚未见报道。鉴于此，本文从概率分析角度，利用软岩微裂隙的概率分布函数，得到其破坏面倾角的确定方法；结合自主研发的TAW-100水－力耦合岩石细观力学伺服三轴试验系统进行软岩的三轴压缩试验，测定其破坏面的倾角；将破坏面概率分析方法得到的破坏面倾角和Mohr-Coulomb强度准则得到的结果与试验结果进行对比，验证概率分析方法的可行性，研究在探讨水－应力作用下软岩破坏面倾角计算方法上进行一次尝试，对软岩的变形破坏过程和工程设计与预警具有重要意义。

1 软岩破坏面倾角的概率分析方法

软岩在应力作用下，从微破裂发展到宏观破坏的过程，实际是软岩多种状态参量不断演化的过程。应力破损、应力腐蚀等因素都会对微裂隙的数量和分布产生影响，使其具有一定的概率分布特征。而软岩在应力作用下，其内部微裂隙从孕育、扩展、丛集，最后贯通形成破坏面的过程实际上是一个概率分布与变化的过程。因此，对于软岩在应力作用下的破坏面倾角研究，可用概率分析的方法进行。

假设软岩试件在应力作用下的任意破坏能够以点的方式表示在二维xy平面上，而多个破坏点可以形成破坏面，那么可以得到如图1所示的破坏点分布图（钱海涛，2010）。假设有n个破坏点，他们在分布图上的坐标为（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）。如果n1，n2，n3表示在如下3个区域中的破坏点的数目：（X＜x＜X＋Δx、Y＜y＜Y＋Δy）、（X＜x＜X＋Δx、－∞＜y＜＋∞）、（－∞＜x＜＋∞、Y＜y＜Y＋Δy），则根据概率论和数理统计理论（陈希孺等，1998），软岩试件内部破坏点的联合、边缘和条件概率密度函数将分别为：

除此之外，还可以得到软岩在应力作用下破坏点坐标的期望、方差和协方差：

图1 随机变量x，y的分布图Fig.1 The distribution of random variable x，y

上式中，σx、σy为p（x）、p（y）的标准差，并且：

协方差μxy、相关系数ρxy的定义如下：

引入两个随机变量r和s，其定义为

通过变换，根据期望和方差的定义，我们可以得到：

假设p（x）、p（y）服从正态分布（R.克拉夫等，2006），那么所定义的变量r和s的联合概率密度函数可以利用Jacobi变换得出关系式：

引入坐标变化，将x，y变换为一组具有零均值的新的随机变量，使得软岩在应力作用下破坏点的原点位于分布图的质心。坐标平移为：

然后进行坐标旋转，旋转角为θ，使得协方差为零，得到软岩在应力作用下破坏点的坐标变化表达式为：

同时，注意_u_＝_v_＝0，代入上式，得到：

令协方差μuv＝0，求解θ得到旋转角。假定软岩在应力作用下的破坏面呈近似直线分布，即倾角为一常数，根据概率分析理论，此角度数值上等于破坏面的倾角，θ表示为：

式（9）即为软岩在应力作用下破坏面倾角的概率分析方法计算得到的破坏面倾角。从方法的数学表达式得知，软岩在应力作用下的破坏面倾角与其方差和协方差具有一定的线性关系。

2 水－应力作用下软岩破坏面倾角的三轴压缩试验

2.1 试验简介

试验用的粉砂质泥岩样品采自于广东佛山南海区，地质为新生界下第三系地层，岩样呈紫红色、致密块状、外表呈土状、粉砂泥质结构，矿物颗粒无定向排列，较易击碎，指甲可刻出痕迹。采用本团队自主研发的TAW-100水-力耦合岩石细观力学伺服三轴试验系统进行试验，通过压力室的透明观察窗，对水-力作用下软岩的变形破坏进行直观的观察和量测，得到其破坏面的倾角。

试验分4组平行进行（表1）。分别为天然状态0围压、天然状态1MPa围压、饱水48h状态0围压和饱水48h状态1MPa围压，其中，0围压为静水压力条件，饱水48h状态为试件在水中浸泡48h后的状态。设定的0、1MPa围压条件为反映实际岩体在工程中无围压和有围压的情况。采用轴向位移控制法加载，其中，轴向位移加载速率为0.2mm·min－1，围压加载速率为50N·s－1。试验为一次性加载至软岩试样完全破坏（图2），实验中观察和测量岩样破坏面的倾角。

2.2 试验结果分析

水－应力作用下软岩的破坏面倾角结果见表2，软岩的破坏方式呈现为沿着一条或者多条破裂面的错动或滑动，本文取软岩主要破坏面的倾向与水平面的夹角为其试验倾角。

表1 试验分组情况Table 1 Test group

图2 4组软岩的破坏形态Fig.2 The failure patterns of the four groups of soft rocksa.天然，0MPa；b.饱水，48h 0MPa；c.天然，1MPa；d.饱水，48h 1MPa

表2 软岩的破坏面倾角Table 2 The inclination angle of failure surface of rock mass

根据表2，结合三轴压缩试验结果，做出软岩试样的偏差应力σ1－σ3与其破坏面倾角关系（图3）。从图3中可以看出，24个软岩试样的破坏面倾角范围为50.3°～80.2°，其破坏面倾角的平均值为67.9°。软岩试样的破坏面倾角大部分较为集中，24个样品中有18个破坏面倾角集中分布在平行线1和2之间，其倾角范围为64°～75°；该范围可以反映此类软岩破坏面倾角的大致范围。

图3 软岩破坏面倾角与偏差应力的关系Fig.3 The inclination angle of failure surface of rock mass and the stress of deviation

3 基于概率方法的软岩破坏面倾角的确定

根据上述试验数据，采用本文第2节所建立的破坏概率模型，计算水－应力作用下软岩的破坏面倾角。试验中具有类似破坏面类型的软岩试样，取其代表性破坏面进行分析，其分析结果代表该类破坏面的倾角大小。这里，以水－应力作用下软岩三轴压缩试验中的试样Ⅱ-Ⅰ为研究对象进行破坏概率方法的破坏面倾角分析。

根据试样Ⅱ-Ⅰ的破坏轨迹图（图4），提取出其表面破坏点的分布轨迹，如图4中所示的轨迹线1和轨迹线2，使用Matlab提取破坏点x，y方向的坐标，根据其125个破坏点的坐标分布，代入式（2）中得到：

图4 试样Ⅱ-Ⅰ破坏形态及其破坏轨迹图Fig.4 The failure form and its failure path of the sampleⅡ-Ⅰ

将式（13）代入式（11）可得：

式（12）即为基于概率分析方法的水－应力作用下软岩试样Ⅱ-Ⅰ的破坏面倾角，其值为61.9°。

4 基于破坏概率方法计算的软岩破坏面倾角的结果对比与验证

将软岩破坏面倾角的破坏概率方法计算所得到的破坏面倾角分别与Mohr-Coulomb方法的计算结果及试验结果进行对比，得到的分析结果如表3所示，其中，Mohr-Coulomb倾角为63.5°，φ为37°，由试验值通过莫尔圆确定。

从表3中可以看出，采用概率分析方法计算得到的软岩破坏面倾角值范围为57.4°～81.3°，其比较集中的区域为64.1°～68.4°，其破坏面倾角的平均值为69.2°；三轴试验得到的破坏面倾角范围为50.3°～80.2°，其破坏面倾角平均值为68.0°。与试验结果相比，概率分析方法的误差范围为0.4％～19.8％，与试验倾角平均值的误差为1.6％。除个别数据外，大部分结果十分接近。24个软岩试样中，15个软岩试样的破坏面倾角误差在5％以内，5个软岩试样的误差超过10％，分别为试样Ⅱ－Ⅲ、Ⅱ-Ⅳ、1－2、2－2和2－3。从岩样本身的观察而言，可能是颗粒与裂隙分布不均所导致该两个软岩试样内部存在明显的缺陷，导致多个潜在破坏面存在，导致最终破坏面的随机性加大，最后的误差也较大。

采用经典Mohr-Coulomb方法，破坏面的倾角为45°＋φ／2，结合试验计算得到的软岩样品的破坏面倾角为63.5°，与试验结果相比，其破坏面倾角的误差范围为0.2％～20.8％，与试验倾角平均值的误差为6.6％。24个软岩试样中，7个软岩试样的破坏面倾角误差在5％以内，10个软岩试样的误差超过10％。

上述分析表明：概率分析方法计算得到的破坏面倾角平均值误差1.6％远小于Mohr-Coulomb方法计算得到破坏面倾角平均值误差6.6％。且在24个软岩试样中，概率分析方法的破坏面倾角误差在5％以内的试样有15个，Mohr-Coulomb方法只有7个；概率分析方法的破坏面倾角误差在10％以上的试样只有5个，而Mohr-Coulomb方法有10个。说明采用概率分析方法得到的破坏面倾角的误差更小，更贴近水－应力作用下软岩的三轴压缩试验结果。

此外，采用Mohr-Coulomb强度准则得到的破坏面倾角是一个定值，而概率分析方法考虑了软岩在应力作用下其微裂隙的随机分布和水－应力的综合影响，因而得到的是一个范围，概率分析方法更符合实际情况，具有更好的合理可靠性。

表3 概率分析方法与Mohr-coulomb的破坏面倾角结果对比Table 3 The contrast between the result of Probability analysismethod and Mohr-coulomb

5 围压和水对软岩破坏面倾角的影响

5.1 围压对软岩破坏面倾角的影响

从表2可以得知，天然状态下0MPa围压时软岩的破坏面倾角分别为65.4°，71.4°，66.5°，80.2°，67.4°和50.3°；1MPa围压时软岩的破坏面倾角为67.9°，75.4°和67.2°，66.1°，72.4°和78.1°。围压的增大会对粉砂质泥岩破坏面的倾角产生影响。考虑到软岩破坏面倾角具有一定的随机性，而软岩试样2－3和4－3的破坏面倾角为50.3°和78.1°，与其他试样的破坏面倾角偏差较大，可以认为具有较大的误差。忽略其破坏面倾角影响，得到0MPa围压时软岩破坏面倾角的平均值为70.1°，1MPa围压时软岩破坏面倾角的平均值为67.9°，结果显示，天然状态下软岩在1MPa围压下的破坏面倾角平均值小于0MPa围压下其破坏面倾角的平均值，围压与破坏面倾角呈负相关关系，与砂岩的规律一致。

从表2中可以得知，饱水状态下0MPa围压时软岩的破坏面倾角为69.1°，74.3°，63.6.°，66.1°，72.4°和78.1°，其平均破坏面倾角为69°；饱水状态下的破坏面倾角为70.2°，73.8°，65.7°53.2°，67.7°，65.8°。其中，软岩试样Ⅰ－Ⅱ，3－1和Ⅰ－Ⅵ的偏差过大，忽略其影响，得到饱水状态下0MPa围压时软岩破坏面倾角的平均值为69.7°，饱水状态下1MPa围压时软岩破坏面倾角的平均值为68.8°。结果显示，饱水状态下软岩在1MPa围压下的破坏面倾角平均值小于0MPa围压下其破坏面倾角的平均值，围压与软岩破坏面倾角呈负相关关系。

5.2 含水量对软岩破坏面倾角的影响

将饱水状态与天然状态下的软岩破坏面倾角进行对比分析，忽略试验误差较大的软岩试样4－3，3－1，Ⅰ－Ⅱ和Ⅰ－Ⅵ，结果显示，在0MPa围压下，饱水状态的软岩破坏面的倾角的平均值为70.5°，天然状态的软岩破坏面倾角的平均值为70.2°，饱水状态下软岩破坏面的平均倾角稍大于天然状态下的软岩倾角平均值；在1MPa围压下，饱水状态的软岩破坏面倾角的平均值为69.1°，天然状态的软岩破坏面倾角的平均值为68.7°，饱水状态下其破坏面倾角的平均值稍大于天然状态下倾角的平均值。由上述分析可得，对于该类软岩试样，其在饱水状态下破坏面的倾角与天然状态下破坏面的倾角相差不大。

6 结 论

（1）本文基于应力作用下软岩微裂隙的随机分布特征，从概率分析角度，通过对破坏点随机分布的考虑，建立了其破坏概率分析模型，用来计算应力作用下软岩的破坏面倾角，在探讨水－应力作用下软岩破坏面倾角计算问题上进行了一次尝试。

（2）将软岩破坏面倾角的破坏概率方法计算所得到的破坏面倾角分别与Mohr-Coulomb方法的计算结果及试验结果进行对比。结果表明，软岩破坏面概率分析倾角是一个范围值，且误差比Mohr-Coulomb倾角的误差小，说明了概率分析方法在分析计算水－应力作用下软岩的破坏面倾角方面比Mohr-Coulomb强度准则具有更好的合理可靠性。

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PROBABILITY ANALYSIS OF THE INCLINATION ANGLE OF FAILURE SURFACE OF ROCK MASS IN HYDRAULIC-MECHANICAL COUPLING CONDITION

YIChengcheng①②LIU Zhen①②③ZHOU Cuiying①②
（①School of Engineering，Sun Yat-sen University，Guangzhou 510006）
（②Research Center for Geotechnical Engineering and Information Technology，Sun Yat-sen University，Guangzhou 510275）
（③School of Marine Science，Sun Yat-sen University，Guangzhou 510275）

The inclination angle of the failure plane of rock mass is the angle between the fracture surface and the maximum principal stress，it is an important parameter in the design of the rock engineering projects，and serves as an important basis for the security warning in engineering projects.The inclination angle of the failure surface of rock mass is influenced by the stress，fabric，water and other factors，giving rise to great uncertainty in thedetermination of the inclination angle of the failure surface，especially for weak rock mass.The inclination angle of failure surface is 45°＋φ／2 as given by the Mohr-Coulomb failure criterion and it is a constant.In fact，the inclination angle of failure surface is found to fall in a range instead of being constant，so it is necessary to carry out a study on the inclination angle of failure surface.By focusing on the failure of the silty mudstones under the hydraulic-mechanical coupling condition，which is a typical soft rock in the red beds in South China，this paper has derived a mathematical expression of the inclination angle of failure surface of rock mass，with the use of the probability distribution function of micro cracks in the rock mass.Three axial compression tests have been done under the hydraulic-mechanical coupling condition in the TAW-100（hydro-mechanical coupling and mciromechanical triaxial test equipment with servo-control loading system）.According to the derived mathematical expression，the range of the inclination angle of failure surface is determined to be 50.3°～80.2°with the confining pressure being 0 and 1MPa.Furthermore current results are compared with the prediction of the Mohr-Coulomb theory，aswell as the experimental results.It is found that the results obtained by themethod of probability is close to the experimental results，suggesting that thismethod is reasonable and reliable.

Soft rock，Hydraulic-mechanical coupling condition，Three axial compression test，Inclination angle of failure surface，Probability analysis

TU45

：A

10.13544／j.cnki.jeg.2016.06.028

2015－08－30；

2015－09－29.

国家自然科学基金重点项目、面上项目（41030747，40672194，41472257），国家自然科学基金科学仪器基础研究专项（41227002），广东省自然科学基金重点项目（S2011020001229）资助.

易成城（1989－），男，硕士生，主要从事岩土工程研究工作.Email：328186288＠qq.com

周翠英（1963－），女，博士，教授，博士生导师，主要从事岩土工程、地质环境等教学和科研工作.Email：ueit＠mail.sysu.edu.cn通讯作者简介：刘镇（1982－），男，博士，副教授，主要从事岩土工程的教学和科研工作.Email：liuzh8＠mail.sysu.edu.cn