质疑，让思维走向更深处
——一道思考题“借题发挥”的教学

□楼国红

质疑，让思维走向更深处
——一道思考题“借题发挥”的教学

□楼国红

本文由学生对一道提升题“想当然”的解法开始，引发思考，提出质疑，进行反思，再由学生自己通过实践操作“借题发挥”，发掘出了几个有价值的“新题”继续探究。我们的思考：学生之所以“想当然”是不是因为教师平时“想当然”了？教师该怎样引领学生用事实说话？引领学生自己主动地学数学、做数学、探究数学呢？

重叠的面积 思维 实践

【案例叙述】

北师大版（第四版）五年级上册的教材中安排了两个单元的“图形与几何”领域的学习，分别是第三单元的“图形的面积”和第五单元的“组合图形的面积”。在“组合图形的面积”这一节课中，教材最后有一道标了“？”的拓展提升习题。

课堂上笔者让学生结合实物投影仪讲解自己的解题方法。学生A高高举起了手，上台讲解：“4×4=16平方厘米，我们先把两条被盖住的边用虚线补画出来，发现中间是一个边长4厘米的正方形，所以用4×4就求出了重叠部分的面积了。”在笔者的追问下他流畅地说明了边长4厘米的由来。

之后又有一名平时表现不错的男生B高举着手，说有不同解法:“8×8÷4=16平方厘米，因为用虚线把被盖住的边一补上之后，我们一眼就看出了边长是8厘米的正方形被平均分成了4个小正方形，只要用一个大正方形的面积除以4就可以了。”其他同学也频频点头。笔者追问：“你怎么知道大正方形被平均分成了4份呢？”学生思索片刻之后才用数据进行了说明。

不可否认，这两个学生对数学图形的直觉都是不错的，但笔者也发现他们更多地关注了图形的本身而忽略了题目中的数据。离开数据或者离开了书本提供的标准图形，学生还能出现这样的图形直观吗？离开数据直觉还能走多远？这样的直觉对学生今后学习几何有益吗？……笔者脑中产生了好多疑问。

笔者稍稍沉默，说：“如果老师去掉刚才同学们不太关注的数据4，你们还能解决吗？”学生思考尝试之后摇头。“说说你是怎么想的？”学生中有人举手了：“可能露在外面的边是3厘米、2厘米、1厘米，也有可能一边露出的长，一边露出的短……”

为了让更多的学生参与到学习中来，笔者说：“请同学们仔细想一想，两个一样的正方形叠在一起，重叠的部分就一定是正方形吗？可能会是哪些图形呢？”有学生开始望着天花板思考，也有学生在草稿本上开始画图，还有学生开始折、剪正方形纸，更有机灵的学生借助手中已有的正方形的便利贴就开始操作了。

约莫3分钟之后，笔者要求：“小组交流一下你的发现，注意用事实说话。当然别忘了：认真倾听也是一种学习方法。比一比，哪个小组发现的情况多？”学生立刻活跃了起来，有画图解说的，有两种正方形纸片不断移动演示的，有注目凝视的，有动笔演算的。学生合作交流得不亦乐乎。笔者一边巡视着，一边观察着，笔者想说这样的学习是更贴近学生的，因为学生自己动手操作了，他们在画、摆、听、看中不断地建立两个正方形部分重合的多种图形表象，而且学生正在用自己的语言解说着自己的发现，相互学习，取长补短。

集体的力量是巨大的，5分钟后开始反馈，各小组上台展示汇报。学生表现积极，形式多样，笔者把他们的图形都贴在黑板上或展示在实物投影上，部分作品展示如下：

在大量的直观图形面前，我们总结：两个一样的正方形叠在一起，重叠的部分不一定是正方形，可能是三角形、四边形、五边形，还可能是八边形等。对于如此好的学生自创的课堂生成资源，笔者继续追问：“你能求出上面这些图形重叠部分的面积吗？”学生经过讨论发现：必须知道原来正方形的边长和露在外面的边的长度。于是笔者规定每个正方形的边长还是8厘米，并结合实际给露在外面的边定了长度，请学生选择两幅图计算重叠部分的面积。独立尝试后反馈交流，学生的解答如下：

其实，此时学生的思维还是混乱的、零散的，怎样让学生的思考更有序？怎样培养学生严谨的思维呢？笔者再次启发学生：重叠部分是正方形的情况，你能按面积从小到大摆出来吗？重叠部分是长方形的呢？(要求边长是整厘米数)学生迅速地摆出了重叠部分边长分别是1、2、3、4、5、6、7、8厘米的7种正方形，并快速地报出了面积。

接着又罗列出来重叠部分是长方形的：宽是1厘米，长从1厘米到8厘米的8种；宽是2厘米，长从2厘米到8厘米的7种，……共8+7+6+5+4+3+2+1=36种。

学生的大脑被激活了，思维也被理顺了，成功的喜悦自然地写在了脸上。最后笔者进行了学习小结：同学们，这节课你学得开心吗？你最大的收获是什么？学生一脸的喜悦与兴奋，纷纷说着自己的收获。有说学会解题的，有说学会方法的，刚才自告奋勇的男生A说：“我知道了在解题时我们不能只看图形，要根据题目的条件思考问题，不能凭感觉，缺少必要的数据题目就不能解决了。”还有同学说：“我们解决图形问题时，如果有疑难也可以动手摆一摆、试一试，寻找规律。”男生B说：“我今天学得很开心，因为我解决了自己创造的难题，以后我遇到问题要多想想，动手做一做，就会有发现。”笔者最后总结道：我们刚才通过对一道“想当然”题的质疑，发掘出了这么多有价值的“新题”，结合实物观察、思考，都顺利解决了，真的很了不起！希望在今后的学习中同学们也能多问、多思、多操作，相信你一定会在学习中收获成功与喜悦。

【教后思考】

一道题的教学让笔者思考了很多：学生之所以会出问题，是不是我们的课堂教学出问题了？学生之所以“想当然”是不是我们教师平时“想当然”了？教师该怎样引领学生用事实说话？引领学生自己主动地学数学、做数学、探究数学呢？

在生活中，人们凭主观臆想与直觉经验“想当然”地去解决问题的现象比比皆是。反思我们教师的日常教学，我们会发现很多时候是我们自己对学情分析不深，对教材把握不准，没有根据教材的特点进行合理的教学设计，常常省略了学生的操作过程，忽视了学生的策略意识的形成过程，盲目地追求思维的发展。课堂中，我们的学生也会受直觉的影响，经常不根据题目所提供的信息和已知条件进行分析与合理的推理，出现“想当然”的思维，看着“像什么”就“是什么”，从而忽视了数学的严密性。让经验束缚了思维，限定了思维的方向以及思维的广度与深度。学生没有亲身经历数学的发生、发现过程，基本活动经验怎么积累，学生没有亲自静心的思考，数学思想怎么形成，久而久之，学生的实践能力差了，思维能力弱了，创新能力也就更没有了。

正如波利亚指出：学习任何东西，最有效的途径是自己去发现。在本节课中，笔者以人的发展为本，从学生的“直觉处”质疑，引领学生进行思考，在小组合作中进行操作探究，讨论解疑，最后交流展示、反思纠错，亲身经历数学的发生、发展过程，再从自己经历的数学活动过程中获得体验，领悟数学学科所蕴含的思想，积累了活动经验，提升了学生的空间观念。再配上合理的评价与积分奖励，整节课进行得有序而有效，学生的学习探究气氛浓郁，思维活跃，同时也领略了探究成功的喜悦。是的，在学习上没有什么比自己发现问题、解决问题、发现规律更开心。

（浙江省衢州市龙游阳光小学 324400）