三角形面积计算公式的推导方法—浅谈小学教学三角形面积的计算公式

云南省大理州云龙县长新乡丰胜完小 杨炳海

人教版小学数学第九册《三角形面积的计算》一节，教材上是这样安排的：一是明确目标；二是用数格的方式不能确定三角形的面积；三是能否转化成以前学过的图形进行计算？四是拿两个完全一样的直角三角形可以拼成以前学习过的长方形或平行四边形，所以直角三角形的面积是长方形或平行四边形面积的一半；五是验证锐角三角形和钝角三角形是否也能拼成平行四边形；六是确定所有类型的三角形能转化成平行四边形，并且两者的关系是“等底等高，面积一半”。

课堂教学是师生、学生之间有效互动的过程，具有活力的精彩的课堂取决于课堂中有效的生成，这又源于学生的思考过程。华罗庚说过，“难处不在于有了公式去证明，而在于没有公式之前，怎样去找出公式来。”要培养学生的空间观念和创造能力，就必须重视推导公式的过程教学，从学生的认知特点出发组织学生去大胆地操作实践， 探求规律，推导出公式。学生掌握新知识的过程是在老师的引导下，充分利用已有知识和学习经验，积极主动地参与探求的过程。

一、为三角形面积计算公式推导作准备

第一，预设生成不是借学生的口说出教师想说的话，而是把教师的预设用生成的状态呈现给学生。这需要教师给学生提供丰富而有价值的探究材料，选择多样而有效的学习方式，组织学生通过动手实验、猜测、验证、推理与交流等活动，实现知识的“再创造”。

第二，学习新知识的基础是选取复习内容的依据，连接点是复习的重点。三角形面积这个新知识的基础是长方形、正方形、平行四边形的面积公式及三角形底和高的认识，知识的连接点是图形的转化和变换 。在教学新知识之前除了要复习好以上的内容外，还要指导学生回忆平行四边形面积公式的推导过程，唤起“ 转化图形、建立联系、推导公式”的学习方法的认识。

第三，用数方格求面积是有一定局限性的，今天我们来研究如何求三角形的面积？一石激起千层浪，由数方格方法的局限性这一认识的困惑与冲突，有效地引发了学生探究面积计算公式的生长点，使学生有了探究发现的空间。

二、三角形面积计算公式的推导

第一，操作学具。启发学生用两个完全一样三角形拼成一个学过的那些图形？请同学们通过拼一拼，折一折，剪一剪，转化成已学过的图形。这里把“新”问题转化成了“老”问题来解决，有效地把学法指导融入到了教学中，给学生创造了更广阔、更真实的自主空间，无疑有利于学生可持续性发展。学生动手、动脑相互交流，把两个完全一样的三角形转化成了平行四边形、长方形和正方形，得出“两个完全一样的直角三角形，可以拼成一个长方形、正方形或平行四边形”。

第二，观察与思考。提出问题引导学生观察拼成的正方形、长方形或平行四边形与三角形的关系。三角形的底和高与正方形的边长、长方形的长与宽，以及平行四边形底和高的关系？解决转化前后图形间的关系：一是大小的关系，通过比较学生们发现，两个完全一样的三角形拼成的图形跟三角形关系是S = S÷2。二是底和高的关系，拼割前后各部分有什么关系？因为平行四边形的面积是底×高，它是由两个三角形拼成的，所以三角形的面积是底×高÷2。

第三，推导公式。利用图形之间各部分的对应关系，思考它们面积之间的关系，最终推导出：因为，平行四边形面积＝底×高（平行四边形的面积是两个与它等底等高的三角形面积的2倍），所以， 三角形的面积 ＝底×高÷2。如果我用S表示三角形的面积，a表示三角形的底，h表示三角形的高，那三角形的面积公式表示为S=a×h÷2。

第四，深化认识。为了使学生加深对三角形面积计算公式的理解，进一步启发学生，用一个三角形通过割补的办法推导出三角形的面积计算公式。一是把一个等腰三角形对折，然后从中间剪开拼成了一个长方形，这个长方形的底是三角形的底的一半，高是三角形的高，因为长方形的面积是长×宽，长方形的面积等于三角形的面积，所以三角形的面积是底×高÷2；二是把一个直角三角形的上面对折下来，然后剪开，把它补在一边，拼成了一个长方形。这个长方形的长是三角形的底，高是三角形高的一半，所以也能推出三角形的面积是底×高÷2；三是把一个三角形沿着两边的重点对折，然后又把底边的重点这样对折，折成了一个长方形，这个长方形的底是三角形底的一半，宽是三角形高的一半，再乘以2，也可以推出三角形的面积是底×高÷2；四把一个长方形沿对角线折叠，因为长方形的面积是长×宽，长方形是两个三角形拼成的，所以，三角形的面积是底×高÷2。学生通过动手，动脑，相互交流，得出如下计算公式：三角形面积＝底×（高÷2）；三角形面积＝（底÷2）×高。

第五，归纳总结。发展学生的创造思维为重点，引导学生用多种方法进行转化，然后通过观察、操作、比较、归纳、抽象概括推导出公式，没有通过太多的练习却获得了超常规的解题能力。这过程是学生自主探究的过程，是学生综合能力培养和提高的过程。不仅深化了对公式的理解而且渗透了转化和变换的数学思想，培养了学生操作能力和分析概括的能力，发展了学生的空间观念。