谈谈初中几何原创题编创的几种途径

浙江省永嘉县实验中学 李淑槐

谈谈初中几何原创题编创的几种途径

浙江省永嘉县实验中学 李淑槐

平时的解题是解答现有的题目，体现的是教师的自我解题能力，一线教师对此往往非常重视，但却忽视原创题的编创.原创题的编创要求教师把知识、方法、能力落实到具体的题目，即要求作者以研究者的眼光来审视和深思编创过程的每一个细节.这个过程是丰富多彩的，方法是多种多样的：用数学的眼光去观察生活，可以发现有趣的命题素材；用学生常见的学具去摆放，可以发现新颖的图形结构；用智慧的头脑，加以先进的软件，可以编创有深度的综合题.每一道题从想法到成型都是一次次思维的历练.所以，编创出一道满意的，甚至赏心悦目的题目来，是要付出艰苦劳动的，要有执着的精神与创新的意识.它能使教师从单纯的解题者、讲题者提升到编题者，同时能使教师对课本知识、教学大纲的理解跃上一个新的层次，更好地为教学服务.本文将从若干个方面结合自己的实践经验谈谈对原创题编创的一些浅见.

初中数学 原创题 思维历程 途径

教师，尤其是数学教师，在平时教学活动中是要大量解题的.事实上，一个解题能力强大的数学老师确实是会受到学生与同行的赞许甚至是崇拜的，而且各种针对教师的解题基本功比赛也开展得较多，因此，一线教师都十分注重解题方法与技巧的学习与积累.相对的，原创题的编创就被“冷落”多了.

原创即作者首创，是模仿与抄袭的反义，是一种蜕变.几何原创题指在数学几何学科的环境下进行的数学题目编创.每年的中考等各种考试都会诞生大量的原创题，其编创的价值除了作为试卷起到了考查、选拔的作用外，它所展示的创新理念、方法革新与发展方向同样是极其重要的.

一、原创题编创的原则

生活是多姿多彩的，当我们用数学的眼光去观察生活时，往往可以发现许多有趣的原创素材.经过反复地斟酌、演算、修改与检验，许多素材最后都可以设计成一道道让人满意的原创试题.那么，初中几何原创题编创要遵循哪些原则呢？

1.基础咬定是根本.

抓好“双基”教学是基础教育永恒的主题.近年来，有些教师有意无意漠视“双基”，崇尚能力，事实上，能力应扎根于基础才会“枝繁叶茂”.而考场上经常有“运算能力低，基本技能差，思想方法疲软以及懂而不会、会而不对、对而不快”的现象.加强平时的常规训练，注重通性通法的应用势在必行.因此命题者要摆正心态，不要故意和学生过意不去，要尽量设置起点低、入口宽的题目，让大部分学生能解答.

2.能力立意是永恒.

对于“能力立意”，笔者的理解是落点在能力，而不是让学生吃闭门羹，应该搭建合适的平台，引领学生拾级而上，登临高峰.笔者认为，应低起点，高落点，立足于学生的思维高度，真正的数学教学就是教“思考”，就是教“思维”.

3.创新意识是灵魂.

作为一线教师，所解的数学题目不可谓不多，但要进行原创题编创时，往往就会“理屈词穷”，无从下手，只会解题，不会编题是一种普遍状况.究其原因多是平时不注重原创题的编创，而创新意识，这一灵魂要素的缺失正是原创题编创困难的最大原因.

二、原创题编创的途径

下面笔者以去年参加县初中教师命题创新大赛中自己的原创题为例，结合中考原题谈谈初中几何原创题编创的几种途径.

1.看出”数学题——在观察中创作.

为了找到理想的创作素材，就需要平时细心观察生活.当时正值国庆期间，街道商铺的墙壁挂满了国旗，就想，若能创作一道以国旗为载体的题目，既能考查知识点，又有爱国主义的思想内涵，可谓一举两得.于是笔者进行了如下创作：

（1）确定创作内容，以四边形、特殊三角形（三角函数）为对象.

（2）确定几何模型.经过实际观察，国庆期间街道商铺的墙壁上所挂的国旗多为以下两种形式：

以上两种可称为平挂式与斜插式，平挂式创作余地不大，创作难以新颖，因此选定为斜插式.对斜插式进行抽象得到下面图形.

（3）确定题目数据.国旗是神圣的，其大尺寸不可随意更改，故查询资料后选择长1440mm，宽960mm较为合适.而斜插倾角的选择对于初中生来说60°比较容易接受.

（4）确定问题设置.根据所编题目，可以预设多个问题，如C或D离地面的高度，建立坐标系后求某点的坐标等，在进行综合比较后，最终定稿如下：

每逢国庆佳节，在我国许多街巷两侧的单位、商户都会斜插着挂起国旗，以示庆祝.如图，矩形ABCD是一面4号（长1440mm，宽960mm）国旗，插挂在墙壁上离地面2m的M处（不计插入墙体部分），墙壁与地面垂直，旗杆BM长1.5米，且与墙壁的夹角呈60°，则国旗的顶点D距离地面的高度为_____m.（结果保留三位有效数字）

评析：本题设计思维含量高，包含丰富的数学知识，解法不单一，难度也适中.既充分体现了命题者细心的观察与发现，又突出数学来源生活，数学服务生活的学科属性.

2.“摆出”数学题——在实验中创作.

在日常教学中，经常用到一些学具，如三角板、圆规、几何体模型等.熟练地运用这些学具是一个数学教师的基本功之一，而这些学具也为原创题提供了丰富的素材源泉.如最常见的三角板类题，在历年全国各地的中考题中经常出现.例如2011年福建龙岩中考第22题：

一副直角三角板叠放如图所示，现将含45°角的三角板ADE固定不动，把含30°角的三角板ABC绕顶点A顺时针旋转α（α=∠BAD且0°＜α＜180°）使两块三角板至少有一组边平行.

（1）如图①，α=______°时，BC∥DE；

图①

（2）请你分别在图②、图③的指定框内，各画一种符合要求的图形，标出α，并完成各项填空：

图②

图③

图②中α=____°时，____∥____；

图③中α=____°时，____∥____.

本题在创编时使用了学生最熟悉的一副三角板，固定三角板ADE不动，在旋转三角板ABC的过程中发现两块三角板至少有一组边平行，可以说，这题目是“摆”出来的.

评析：数学教学中有效使用学具，加强操作，增加学生的参与程度，符合学生的认知规律，有利于学生对新知识的获取与掌握.同样是一副三角板叠放，该题以独特视角呈现和考查，重视学生的基础知识和动手操作能力，显示了编者的匠心独运.

3.“画出”数学题——在作图中创作.

为了创作出理想的题目来，在确定知识点与难度值后，笔者经常在草稿纸、在几何画板上画一些图画.刚开始时会没什么想法，但第一笔画下，总会有第二笔，第三笔，如此类推，或多或少总有收获.

(1)在草稿纸上画.

在创作“圆”这个知识的一道选择题时，笔者经历了以下图形变化过程：

最终题目如下：

如图，已知线段AB=4，C是AB的中点，以AC和BC为直径分别向线段AB的两侧做半圆，圆心分别为O1、O2，过点A作半圆O2的切线l1，过点B作半圆O1的切线l2，那么两条切线间的距离是（ ）

刚开始创作时带有极强的随意性，然后一次次的作图，一次次的被否定，直到偶然看到字母“S”，擦去部分圆是这个题目成型的关键，充满了原创的味道.

评析：本题图形新颖、美观，看似两条平行线中夹着一个英文字母“S”，让学生充满亲切感，也体会到处处有数学，事事皆学问.本题作为选择题，各个选项设置也较有特色，对成绩不佳的同学颇具迷惑性，但总体上难度不大，学生只要基本功扎实，均可正确的解题.

（2）利用几何画板画.

几何画板（The Geometer's Sketchpad）是一款优秀的专业学科平台软件.它是以数学为根本，以“动态几何”为特色来动态表现设计者的思想，供用户探索几何奥秘的一个新工具.它能够准确地、动态地表现几何问题，为充分展现几何元素在运动状态下保持几何关系不变性，提供了方便的动态演示.因此几何画板带来的不仅是教学软件的技术提升，更是创编数学题目方法的一次革命.

这次要创作一个综合题，要求是难度值0.35左右，主要知识：三角形（或四边形）、相似、方程及函数.笔者集中重做了2006~2011年连续6年的温州市中考压轴题，将目光聚焦在四边形中，确定把直角梯形作为背景图.

①确定起点

在几何画板上直接给定直角梯形，数据是简单又特殊的一组勾股数，并将起点定的很低，低到学生很意外，即第（1）小题确定为：

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=30cm， AD=40cm，连结BD，且BD=BC，（1）求线段BC的长.

看似简单，却也处处体现了笔者的精心设计.

②确定动点

在AD、BD长度的基础上，动点P的速度选为4cm／s，动点Q的速度选为5cm／s，显然是非常不错的.而且笔者一开始就坚定地选择点P要从点A出发，沿AD向终点D运动，但同时出发的点Q是从点B还是从点D出发，则让人十分纠结.在这个问题上几何画板发挥了它不可替代的作用：一遍遍的演示.

③确定“中点”

这个“中点”并不是指线段或位置的中点，而是指这个压轴题里中等难度的小题.根据创作要求，笔者确定了函数与等腰三角形这两块知识为主要考查对象，同时在解题过程中须应用相似、方程、函数等知识点及分类的数学思想.并且难度不能过高，要给中等学业水平的学生以发挥的空间.

设动点P、Q的运动时间为t（s），△PDQ的面积为S.若动点Q从点B出发，S关于时间t的函数解析式自然是没有问题的，且难度不高.但是，当下一步把题目定为：当t为何值时，△PDQ为等腰三角形时，则在形状探究上就出了问题，演算与几何画板操作都发现在这种情况下的数据不甚理想，所以改为点Q从点D出发.几何画板演示下△PDQ的形状经变化成为等腰三角形直观了，学生在做草图解决此题也简单了，即第②③小题确定为：

②设△PDQ的面积为S，求S关于t的函数解析式.

③当t为何值时，△PDQ为等腰三角形.

这样大部分学生至少能解决一部分题目，部分同学能解决整个②③题.

④确定亮点

若题目就此作罢，显然十分一般，并无特色，所以最后的“升华”必不可少.能否找到一个亮点，就成了这个题目创作成败的关键.在几何画板上，笔者做了无数次的尝试，最终形成了以下主要思路：

a.以上题目均设定在△ABD中，梯形这个条件并没有被充分利用，所以整个题目内容应扩大到△BCD内.

b.线段PQ若延长，既可交在边CD上，还也可交在折线D-C-B（设交点为E），为问题的多样性带来可能.

c.可以通过图形变换来加强几何题的灵活性、探索性，如旋转、对称等.

d.点P关于对角线BD的对称点P′可通过几何画板得到，并在几何画板上让点P与P′关联，再设置速度运动，当P运动时来观察点P′的位置变化．

e.在运动的过程中发现若连结P′E，则P′E与BD在两个时间点平行.

最终将第④小题设定为：连结并延长PQ交折线D-C-B于点E，若点P关于线段BD的对称点为P′，连结P′E，当t= ____时，P′E∥BD（要求直接写出答案）.

附两种情况：